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Spé maths exercice arithmétique

Posté par
Ptitelouloute
04-10-17 à 20:08

Bonsoir , J'ai un exercice de spécialité maths sur l'arithmétique et je suis actuellement bloquée .

Voici le sujet : dans un centre de loisirs pour enfants , chaque enfant possède un numéro d'identification à 6 chiffres C1C2C3C4C5K.Les deux premiers chiffre représentent l'année de naissance de l'enfant les 3 suivants sont attribués à l'enfant au moment de sa première inscription . Le derniers chiffres , appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante:

• on effectue la Somme S =c1+c3+c5+a×(c2+c4) où a est un entier compris entre 1 et 9.
• on effectue la division euclidienne de S par 10 , le reste obtenu est la clé k. Lorsqu'un employé saisit le numéro à 6 chiffres d'un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le 6e chiffre n'est pas égal à la clé de contrôle calculé à partir des Cinq premiers chiffres.

1. On choisi : a=3
A)  Le numéro 111383 peut il être celui d'un enfant inscrit à ce centre de loisirs ?
B) l'employé , confondant un frère et une sœur , échange leurs années de naissance: 2008 et 2011. Ainsi le numéro 08c3c4c5k est transformé en 11c3c4c5k. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clef ?


2) On note c1c2c3c4c5k le numéro d'un enfant.  On cherche les valeurs de l'entier  a pour lesqu elles la clef détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres c3 et c4 sont intervertir.  On suppose donc que les chiffres c3 et c4 sont distincts .

A) montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'intervention des chiffres C3 C4 si  et seulement si (a-1)(c4-c3) est congru à 0 modulo 10.

B) Déterminer les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquelsavoir il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que 0 congrue à np modulo 10.

C) en déduire  les valeurs de l'entier a  qui permettent grace à la clefin de détecter systématiquement l'inversion des chiffres C3 et C4 .


Ma recherche :
1)A)J'ai fait le calcul en remplaçant c1c2c3.... Par le numéro 111383 et par a . J'ai donc trouvé S= 4×3 +10=22 et N= 10×2 +2 donc le reste r=2  

2 est différent de la clé de contrôle 3 donc cet enfant n'appartient pas au centre de loisirs.

B) j'ai dit non cette erreur n'est pas détectée mais cependant je ne sais pas comment là justifier.

Et la question 2 je ne comprends pas vraiment ce que je dois faire. Pourriez vous me guider un peu dans la résolution de mon problème ?

Je vous remercie d'avance 😊

Posté par
Zormuche
re : Spé maths exercice arithmétique 04-10-17 à 20:45

Bonjour

S = c1 + a(c2) + c3 + a(c4) + c5

Il n'y a que c1 et c2 qui changent entre le frère et la sœur

Dans le cas de 2008 : c1=0 et c2=8. Ensuite, c1+a(c2) = ?
Dans le cas de 2011 : c1=1 et c2=8. Ensuite, c1 + a(c2) = ?

Posté par
Zormuche
re : Spé maths exercice arithmétique 04-10-17 à 20:46

Oups erreur : dans le cas de 2011, c1=1 et c2=1

Posté par
Ptitelouloute
re : Spé maths exercice arithmétique 04-10-17 à 21:01

On ne connaît pas les autres valeurs c3c4etc5 ?
Si je reprends votre aide ça me donne :
Cas 1: c1+a (c2)= 0 +3×8=24
Cas 2: c1+a (c2)= 1+3×1=4
Donc ce n'est pas la même clé et elle sera détecté.

Posté par
flight
re : Spé maths exercice arithmétique 04-10-17 à 22:32

salut

question 1/
pour  08c3c4c5k le calcul de la clé K serait :
(0 + C3 + C5 ) + a.(8 + C4) = K[10]   soit
C3 + C5 + a.C4 + 8a = K[10] (1)

pour 11c3c4c5k. le calcul de la clé K' serait :
( 1+ C3 + C5) + a.( 1 + C4)= K'[10]
C3 + C5 + a.C4 + a + 1  = K'[10] (2)

7a - 1 = K - K'[10] ,   et on voit que  7a -1 = 0[10]   si a =3  on aurait donc K-K'=0[10]
ou encor  K=K' donc les clés seraient les meme si a =3 ,

Posté par
flight
re : Spé maths exercice arithmétique 04-10-17 à 22:52

A) montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'intervention des chiffres C3 C4 si  et seulement si (a-1)(c4-c3) est congru à 0 modulo 10.

sans permutation de C3 et C4  on aurait  

c1+c3+c5+a×(c2+c4) = K[10]

avec permutation de C3 et C4 on aurait

c1+ c4 + c5 + a(c2 + c3)= K'[10]

par difference membre à membre il vient  

(c3-c4) + a(c4-c3)=  K- K'[10]    soit  aussi

(C4-C3)(a-1) = K-K'[10]     et  (C4-C3)(a-1) = 0[10]   implique K=K'

Posté par
Ptitelouloute
re : Spé maths exercice arithmétique 06-10-17 à 09:06

Merci beaucoup pour votre aide😊

Mais donc pour c1c2c3c4c5 on ne remplace pas par des valeurs concrètes ?



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