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Spé. Maths : Fonction du premier ou du second degré (Matrices).
Bonjour,
Je créé ce topic, pour un exercice qui m'a paru difficile, puisqu'il faut utiliser le calcul matriciel.
C'est ce qui me gène particulièrement (en même temps c'est le but de l'exercice).
Voici l'exercice :
La quantité demandée pour du veau "Label Rouge" dépend du prix proposé. Au prix de 8 euros le kg, les consommateurs achètent 27.2 tonnes de viande et, au prix de 9.5 euros le kg, la quantité demandée est de 21.2 tonnes.
1)On modélise la quantité par une fonction affine f(x) = mx + p, pour un prix x de 8 à 12 euros le kg.
a. Ecrire le système correspondant à cette recherche de modèle affine et résoudre le système en utilisant le calcul matriciel.
Ce que j'ai fait :
Je commence d'abord par convertir les tonnes en kilo.
On a donc :
27.2 tonnes = 27200 kg et
21.2 tonnes = 21200 kg.
On remplace x par 8 puis x par 9 :
f(8) = m8 + p = 27200 (kg)
f(9) = m9 + p = 21200 (kg)
S (avec une grand accolade) -> {8m + 1p = 27200 et {9.5m + 1p = 21200
La Matrice A des coefficients du système est une matrice carrée d'ordre n.
La Matrice X des inconnues est une matrice colonne à n lignes.
La Matrice B des seconds membres est une matrice colonne à n lignes.
On a donc :
A = 8 1 X = m B = 27200
9.5 1 p 21200
(S) s'écrit A*X = B <=> 8m + 1p = 27200
9.5m + 1p 21200
Voici donc l'écriture matricielle.
Maintenant la résolution de ce système :
A*X = B
(A puissance -1) (AX) = (A puissance -1) * B
Comme (A puissance -1) * A = I et que I*X = X
On obtient alors : X = (A puissance -1) * B
(A puissance -1) = -0.6666666667 0.6666666667
6.333333333 -5.333333333
(A puissance -1) * B = X = -4000
59200
b. En déduire la fonction affine f. Calculer la quantité demandée si le prix est de 10.5 euros le kg.
Ce que j'ai fait :
On a bien X = -4000
59200
Donc f(x) = -4000x + 59200
On remplace x par 10.5 :
f(10.5) = -4000 * 10.5 + 59200 = 17200
La quantité demandée si le prix est de 10.5 euros le kg est de 17200 kg soit 17.2 tonnes.
2) Sur ce marché, si le prix est de 10.5 euros le kg, la quantité demandée est de 19.2 tonnes.
a. Comparer cette quantité à celle calculée par le modèle en 1)b.
La réponse n'est pas la même que celle trouvait en 1)b qui est de 17.2 tonnes au lieu de 19.2 tonnes.
(Dois-je écrire quelque chose en plus pour justifier ?)
b. Si on modélise par une fonction g de degré 2 telle que g(x) = ax² + bx + c, quel sera le signe du coefficient a ?
Je n'ai pas compris la question.
c. Ecrire un système correspondant à la recherche de g et résoudre à la calculatrice en utilisant les matrices.
d. Etudier le sens de variation de cette fonction g.
Ce modèle est-il pertinent pour un prix supérieur à 11.25 euros le kg ? Argumenter.
J'ai bien peur de ne pas avoir compris ces deux autres question non plus.
Bonjour,
1) a) Une question, dans :
On modélise la quantité par une fonction affine f(x) = mx + p, pour un prix x de 8 à 12 euros le kg
La quantité est donnée en kg ou en tonne ? L'énoncé précise-t-il cela ? Si f(x) est exprimée en kg, alors tous tes calculs sont correctes mais si f(x) est exprimée en tonnes alors faudra les reprendre sans faire de conversion. Selon moi, si rien n'est dit alors tu dois garder les tonnes.
b) correct si a) est correct.
2a) une façon moins naïve de répondre est : le modèle choisi pour modéliser la quantité (en fonction du prix au kilo) prédit pour un prix au kilo de 10.5 € une quantité demandée (17.2 t) inférieure à la quantité réelle (19.2 t). En se fiant à ce modèle, on risque de faire fasse à une pénurie autrement dit de ne pas pouvoir faire face à la demande.
b) regardes l'image ci-dessous, elle te donne l'allure de la courbe d'une fonction polynôme du 2nd degré selon le signe de a : soit d'abord montante puis descendante (a<0) soit d'abord descendante puis montante (a>0). Sachant qu'ici tu veux modéliser une quantité demandée en fonction du prix au kilo (qui n'appartient qu'à l'intervalle [8 ; 12]), et que quand le prix au kilo augmente, la demande diminue, ce qui correspondrait à une courbe descendante... On peut se dire que a > 0.
c) g(8) = 27.2
une équation sur a, b et c
g(9.5) = 21.2
une 2e équation sur a, b et c
g(10.5) = 19.2
une 3e équation sur a, b et c
Tu auras donc une système.
d) Une fois que tu auras totalement identifié g, cette question ne te poserait plus de pb.
Décidément je peux toujours vous faire confiance en ce qui concerne le temps attendu pour avoir une réponse. Merci, Comlich.
La quantité est donnée en kg ou en tonne ? L'énoncé précise-t-il cela ? Si f(x) est exprimée en kg, alors tous tes calculs sont correctes mais si f(x) est exprimée en tonnes alors faudra les reprendre sans faire de conversion. Selon moi, si rien n'est dit alors tu dois garder les tonnes.
b) correct si a) est correct.
Et bien dans l'énoncé, il y est écrit que
La quantité demandée pour du veau "Label Rouge" dépend du prix proposé. Au prix de 8 euros le kg, les consommateurs achètent 27.2 tonnes de viande et, au prix de 9.5 euros le kg, la quantité demandée est de 21.2 tonnes.
La quantité ici est donnée en tonnes, mais le prix est en fonction du kilo.
2a) une façon moins naïve de répondre est : le modèle choisi pour modéliser la quantité (en fonction du prix au kilo) prédit pour un prix au kilo de 10.5 € une quantité demandée (17.2 t) inférieure à la quantité réelle (19.2 t). En se fiant à ce modèle, on risque de faire fasse à une pénurie autrement dit de ne pas pouvoir faire face à la demande.
Dit comme ça, c'est plus simple maintenant.
b) regardes l'image ci-dessous, elle te donne l'allure de la courbe d'une fonction polynôme du 2nd degré selon le signe de a : soit d'abord montante puis descendante (a<0) soit d'abord descendante puis montante (a>0). Sachant qu'ici tu veux modéliser une quantité demandée en fonction du prix au kilo (qui n'appartient qu'à l'intervalle [8 ; 12]), et que quand le prix au kilo augmente, la demande diminue, ce qui correspondrait à une courbe descendante... On peut se dire que a > 0.
On ne reprend donc pas ce "a" de la question 1 qui est égal à -4 000 ?
Dans ce cas-là, dois-je spécifier à combien est égal a ?
De plus, je ne comprends pas très bien : La courbe doit être descendante, puisque la demande diminue quand le prix augmente. Pourtant quand a > 0, après le minimum, la courbe croît quand x devient de plus en plus grand.
Ensuite est-ce que je dois justifier par un graphique, un tableau de signe (voire de variation) ou simplement avec une phrase ?
c) g(8) = 27.2 une équation sur a, b et c
g(9.5) = 21.2 une 2e équation sur a, b et c
g(10.5) = 19.2 une 3e équation sur a, b et c
Pourquoi est-ce 19.2 au lieu de 17.2 ? 19.2 tonnes est seulement la quantité demandée, non ?
Ce qu'ils peuvent produire c'est, en revanche 17.2 tonnes.
Dans ce cas, je dois prendre toutes les valeurs que j'ai trouvées dans la question 1.
Soit : 27200; 21200 et 17200.
J'aimerais comprendre pourquoi l'on doit prendre 19 200 au lieu de 17 200.
De toute façon voici ce que j'ai trouvé avec 19200 kg :
S (avec une grand accolade) -> {64a + 8b +1c = 27 200
{90.25a + 9.5b + 1c = 21 200
{110.25a + 10.5b + 1c = 19 200
On a donc :
A = 64 8 1
90.25 9.5 1
110.25 10.5 1
B = 27 200
21 200
19 200
X = a
b
c
AX = B <=> A(puissance -1)*(AX) = A(puissance -1)*B <=> X = A(puissance-1)*B
A(puissance -1) = 0.2666666667 -0.6666666667 0.4
-5.333333333 12.33333333 -7
26.6 -56 30.4
Donc X = 800
-18 000
120 000
D'où g(x) = 800x² + (-18 000)x + 120 000
d)J'utilise Delta c'est ça ?
Et donc j'ai Delta = -18 000² -4 * 800 * 120 000 = -60000000
Le problème est que Delta est négatif (d'ailleurs, quand j'utilise le programme, cela m'affiche qu'il y a un problème).
Pourtant en entrant la fonction g(x), je trouve dans "Table", que (-b)/2a = 11.25.
Ce qui est correct, puisqu'à partir de ce nombre, la courbe croît.
g(11.25) = 18 800
Tableau de variations :
x 8 11.25 12
g(x) 27200 Décroissant 18 800 Croissant 19200
(Après je fais une petite phrase résumant les variations de g(x))
d.Etant donné que la quantité demandée augmente après 11.25 euros le kg, dois-je déclarer que "oui, ce modèle est pertinent", sachant que la quantité demandée à 12 euros le kg est la même lorsque le prix est à 10.5 euros le kg ?
On ne reprend donc pas ce "a" de la question 1 qui est égal à -4 000 ?
Le 'a' qui intervient dans f(x) dans la question 1) n'a rien à voir avec le 'a' qui intervient dans g(x) de la question 2).
De plus, je ne comprends pas très bien : La courbe doit être descendante, puisque la demande diminue quand le prix augmente. Pourtant quand a > 0, après le minimum, la courbe croît quand x devient de plus en plus grand.
C'est vrai, avec a>0, après le minimum, la fonction va croître. Mais penses-tu que dans la réalité, le prix au kg va dépasser la valeur conduisant au minimum de la demande ? Ce n'est pas pour rien que l'énoncé précise "...pour un prix x de 8 à 12 euros le kg". En tout rigueur, la réponse sur le signe de a, ne peut se trouver que si on ne raisonne pas un peu, avec un certain sens économique :
1 - La quantité demandée doit toujours décroître lorsque que le prix au kilo augmente. On est donc certain que l'intervalle [8 ; 12], ne va pas contenir l'endroit où l'extremum (minimum ou maximum) de la fonction est atteint. Autrement, on aurait une montée puis une descente de la demande (a>0) ou une descente puis une montée de la demande (a<0). Cette analyse montre que [8 ;12] est soit avant l'extremum, soit après. Mais s'il devait le contenir, alors le modèle ne serait plus valable au delà du minimum.
2 - Si on se fit à la logique économique, il ne vaut mieux pas que notre fonction ait un maximum, sinon ça signifierait qu'en augmentant le prix au kilo, la demande augmenterait, ce qui n'est pas le cas. Il faut donc que notre fonction ait un minimum, d'où a > 0.
Pour la justification tu peux d'abord, résumer ce qui est dit par mon dessin, puis dire 1 et 2.
Pourquoi est-ce 19.2 au lieu de 17.2 ? 19.2 tonnes est seulement la quantité demandée, non ?
L'énoncé dit : "Sur ce marché, si le prix est de 10.5 euros le kg, la quantité demandée est de 19.2 tonnes.", pour déterminer les paramètres d'un modèle (ici a, b et c du modèle g), on utilise l'information issue du réel, issue de ce qu'on on observe, et non l'information issue d'un autre modèle (f, qui de surcroît est erroné, puisqu'il risque de conduire à une pénurie).
Ton calcul est encore bon.
d) Correct. Mais ton argumentation n'est pas bonne. Est-ce logique que la quantité demandée augmente si le prix au kilo augmente ?
Oh je vois. Dorénavant c'est plus claire.
Mais pour le 2)d. il n'est pas la peine de spécifier Delta, si ?
Je n'ai besoin que d'un calcul, celui de (-b)/(2a) pour avoir le minimum qu'est 11.25.
J'ai l'impression que démontrer que g(x)=0 n'admet aucun solution puisque Delta<0 ne sert pas à grand chose. Me trompe-je ?
Pour la deuxième question du d. merci d'apporter cette indication. J'ai vérifié par calcul quand j'utilise 17 200, puis j'ai comparé lorsque j'utilisais 19 200. Les résultats paraissent plus les logiques, donc bon..
Sinon, je pense avoir saisis le sens de l'intégralité des exercices.
Bien heureuse que vous ayez pu m'aider aujourd'hui pour ce devoir, cela m'a permis de m'entraîner pour la prochaine interrogation écrite.
Un grand merci, à vous Colmich.
Passez une bonne soirée.
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