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Spé maths : les rationnels positifs

Posté par
jouvence
24-10-13 à 23:38

Voici une règle en trois points concernant les rationnels positifs :
-1 est de couleur rouge et 2 de couleur bleue.
-Si 2 rationnels diffèrent de 1, ils seront de couleurs différentes.
-L'inverse d'un rationnel a la même couleur que celui ci.

1) a Quelle est la couleur des entiers pairs?

b) Quelle est la couleur de 1/3, 5/11, 2 + (1/(3+(1/9))

2 Soit a et b entiers naturels, q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b (b ≠0) Démontrer que si r≠o a/b et b/r sont de même couleur, si q est pair et de couleurs différentes si q est impair.

3) a Ecrire un algorithme permettant de déterminer la couleur d'un rationnel positif.

b)Appliquer cet algorithme pour déterminer la couler de 2000/203.


J'ai répondu à :
1)a) Bleu

1)b) rouge;rouge;bleu

2) a=bq+r donc r=a-bq ainsi r/b=a/b-q (l'inverse d'un rationnel à la même couleur que celui-ci donc couleur r/b=couleur b/r)
-Si q est pair ==> 2k
a/b=r/b+2k => a/b-r/b=2k donc ils différent d'un nombre pair donc ils sont de même couleur
-Si q est impair ==> 2k+1
a/b-r/b=2k+1 donc ils différent d'un pair +1 (impair) donc ils ont un couleur différente.

3) Je suis bloqué pour l'algorithme je fais quelque chose mais je pense qu'il est faux.

Merci d'avance si quelqu'un m'aide

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 24-10-13 à 23:40

Bonjour, j'ai un dm de spé maths pour ces vacances et j'ai besoin d'un éclaircissement à un endroit.
Voici l'énoncé :

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 24-10-13 à 23:55

Bonsoir,
Je vais pas tellement t'aider, j'ai juste une question : comment fais tu, à partir de l'énoncé, pour répondre à la question 1a) ? (soit il manque des éléments, soit c'est moi qui suis carrément lent..., ou fatigué)

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 24-10-13 à 23:57

En fait on a :
1 est rouge et 2 est bleu.
Si deux rationnels différent de 1 (x-y=1), alors ils sont de couleurs différentes.
Ainsi 3 est rouge car 2 est bleu (3-2=1)  puis 4 est bleu car 3 est rouge etc...

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 24-10-13 à 23:57

ah ok... c'est donc la fatigue. Oublie ma question, je tente de m'intéresser à ton problème

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 24-10-13 à 23:58

Merci j'avoue que c'est mal formulé dans l'énoncé

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:01

Qu'as tu essayé de faire pour l'algo?

Posté par
Nofutur2
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:03

Moi c'est la couleur de 5/11 qui m'intéresse ...

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:05

J'ai fait :

Saisir a et saisir b

-Tant que quotient (a;b)>1
q->q-2
-Tant que reste >1
r->r-2
(pour savoir s'ils sont pairs ou non)
-Tant que b>1
b->b-2
-Si quotient=0 et r=0
Afficher a est bleu
-Si quotient=0 et r=1
Afficher a est rouge
-Si quotient=1 et r=0
-Si b=0 afficher a est bleu
-Si b=1 afficher a est rouge
-Si quotient=1 et r=1
-Si b=0 afficher a est rouge
-Si b=1 afficher a est bleu

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:06

Bonsoir Nofutur:

5/11 son inverse = 11/5

Or 11/5=2+1/5 et 1/5 inverse de 5 donc on a 2+5=7 impair donc rouge

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:08

Pour l'algorithme à mon avis il faut s'aider de la 2) mais je ne vois pas du tout ...

Posté par
Nofutur2
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:09

j'ai compris pour 5/11 !!!

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:11

Cela me semble plus judicieux de partir directement avec l'hypothèse r\neq0 ( car sinon on a un naturel...)

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:12

En fait, il faut faire la 2!

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:13

Mais y a aussi b qui peut intervenir non?

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:13

J'ai fait la 2 déjà

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:17

Il faut donc ( comme tu l'as fait ) saisir a et b, affecter E(a/b) à q, et affecter a-bq à r ( en supposant a>b..)
Ainsi, tu obtiens tous les éléments pour faire ton algo ( à l'aide de la question 2)

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:18

Excuse moi pour le "il faut faire la 2!", c'est à traduire comme "il faut utiliser la 2"

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:19

Mais je comprends pas comment au final on aura la couleur du chiffre saisi

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:20

Et c'est quoi le E?

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:21

pardon pour le E, c'est la notation de la fonction partie entière

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:23

Mais admettons que je prenne deux chiffres : je saurai juste si selon q a/b et b/r sont de même couleurs ou pas mais pas la couleur exacte non?

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:26

En gros, on veut déterminer la couleur de a/b en fonction de la couleur de b/r et de la parité de q. Moi je m'arrête là, je devient inefficace de fatigue. Mais je m'y replonge demain, sauf si tu trouves entre temps.
En tout cas bonne nuit!!

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:28

C'est sa, et j'ai l'impression qu'on décale le problème de a/b vers b/r... bref j'y réfléchis demain

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 00:28

Merci bonne nuit !

Je vais dormir également.

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 09:35

(Re)bonjour,
Tout le problème de cet algorithme repose simplement sur une boucle tant que pour trouver la couleur de a/b, donc de b/r, et si b=cr+d ( avec r>d ), alors c'est la couleur de r/d qui nous intéresse...etc, jusqu'à ce que ce fameux quotient soit un entier ( ou là une disjonction de cas nous permet de trouver sa couleur ).
Ainsi, avec la couleur de q, et celle du fameux quotient, on obtient celle de a/b.

Ton problème est donc de faire cette boucle "tant que"..., mais ce n'est pas si dur.
Voilà bon courage

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 10:38

Rebonjour,


Super merci bien je m'y mets !

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 10:46

Il y a un juste un petit truc qui me pose problème (j'ai pas fait beaucoup d'algo ): en fait je fais le tant que jusqu'à avoir un reste nul c'est ça ?
Mais que se passerait-il si on avait un inverse ?

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 10:50

Ton "tant que", c'est jusqu'à ce que tu obtienne un entier, donc oui juqsu'à r\neq0
Je n'ai pas tellement compris ta question...

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 10:54

r=/= 0 ou r=0?

Mais question c'était surtout si on a un inverse du style 1/3, avec la règle on détermine facilement qu'il est rouge, mais l'algo va aussi diviser le b etc... jusqu'à avoir un entier?

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 10:55

C'était plutôt r=0 non?^^

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 10:57

Pardon !!c'est r=0!!

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 10:59

Toujours pas compris ta question... Veux tu dire si a=1 et b=3?

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:00

Oui ^^

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:04

Et bien tu pars avec l'hypothèse de départ a>b, et chacun des quotients ( genre b/r, et dans mon exemple r/d) sera >1.
Est ce que ça répond à ta question?

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:07

Ah !

Mais il se peut que b > a comme dans la 1)a)

On a 1=3*(1/3)+0 non? Et comme q est impair alors rouge ?

Ah mais 1 on sait déjà ahah ^^

Désolé ! Merci d'avoir usé de votre temps pour m'aider j'ai compris là

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:12

"usé de votre temps": c'est pas du temps perdu, c'est assez intéressant comme algo ( et tu peux me tutoyer, je suis pas tellement vieux...)

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:14

Ahah merci

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:29

alors as tu trouvé cette boucle "tant que"?

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:44

Je pense qu'il faut faire quelque chose comme ça :

Saisir a
Saisir b
Faire a/b
Tant que reste (a;b)=/=0
b->b/r
Fin tant que
Tant que quotient >1
quotient->q-2
Fin tant qe
Si q=0
Afficher "b/r de même couleur que a/b"
Si q=1
Afficher "b/r de couleur différente que a/b"
Fin

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:55

Non?

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 11:58

Je pense que tu n'es pas loin sauf que tu ne peux pas modifier q car tu en as besoin après...
Je vais te donner ma solution ( sûrement pas la seule et ni la plus rapide), car ça commence à être long...

Je te laisse la fin : (je pars du principe que r\neq0)

Début
Saisir a, saisir b
q prend la valeur E(a/b)     (la partie entière donc)
r prend la valeur a-bq

Tant que : E(b/r) \neq b/r
c prend la valeur E(b/r)
d prend la valeur b-cr
b prend la valeur r
r prend la valeur d

Voilà, c'est assez compliqué dans la rédaction, j'espère que tu comprendras la démarche. Bonne journée

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 12:09

Ah oui j'ai oublié la partie entière à prendre mais dans l'énoncé ils nous précisent qu'on peut utiliser le terme quotient(a;b) et reste(a;b).

Mais si ça ne marche toujours pas avec les nouvelles valeurs ?

Le Tant que continuera sa boucle avec c,d .... ?

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 12:25

Parce qu'il s'arrête à ces valeurs non?

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 12:56

Je vais te donner une exemple concret :
a=2000; b=203
Ceci est ce qu'il faut faire :
a=203*q+173 ( q ne nous importe peu, sauf de connaitre sa parité : q=9 )
203/173 n'est pas un entier
203=173*1+30
173/30 n'est pas un entier
173=30*5+23
30/23 n'est pas un entier
30=23*1+7
23/7 n'est pas un entier
23=7*3+2
7/2 n'est pas entier
7=2*3+1
2/1 est un entier
Donc : 2/1 est de même couleur que 7/2, lui mm que de 23/7 , 30/23, 173/30, 203/173, 2000/203
Conclusion :  2 est pair donc : 2000/203 est bleu, sauf erreur de ma part.

Je m'aperçois qu'on a pas besoin de q, donc on peut modifier et simplifier l'algo

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 13:00

Erreur de ma part, on a besoin de q
      

Posté par
Skyp5
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 13:04

Re-erreur dans mon algo il me semble... ça commence à m'agacer. Je vais y réfléchir...car à chaque boucle "tant que" , il faut étudier la parité de c.

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 13:26

Ah merci j'ai déjà bien compris le fonctionnement avec le Tant que .

Il est inutile d'étudier c si on a un entier b/r on a juste à l'étudier non?
Admettons qu'on ait b/r = 1/2 donc on conclut qu'il est bleu

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 13:36

Sinon après le tant que on pourrait étudier la parité  de c ?

Posté par
jouvence
re : Spé maths : les rationnels positifs 25-10-13 à 17:55

Je pense avoir trouvé : il faut pas le reste soit = 0 mais à 1 pour avoir b/r=b

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