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Spé maths:montrer que cos(pi/9) est un irrationnel.
Bonjour à tous,
c'est ahlem
j'ai un problème dans un exercice de spé maths alors voila:
a) Montrer que, pour tout x , on a : cos(3x)=4(cos x)au cube-3cos x.
(je l'ai fait).
b)Montrer que cos (
/9) est un irrationnel.
j'imagine qu'il faut utiliser la question au dessus donc j'ai commencé par écrire:
cos(/9) =cos(3 /27)= 4 (cos 3/27)au cube - 3 cos (3/27).
mais aprés je n'arrive plus à avancer.
Si vous voulez bien m'aider.. je vous en serez reconnaissante.
merci bien.
Bonjour ahlem,
si on note cos(pi/9)=a alors on a 4a^3-3a=1/2=cos(pi/3) donc 8a^3-6a-1=0 donc si a=p/q(avec p premier avec q) on aurait 8p^3/q^3-6p/q=1 d'ou q^3=8p^3-6pq^2 donc p divise q^3 mais p premier avec q donc p=1.Cela impliquerait q^3=8-6q^2 soit
q^3+6q^2-8=0.Si |q|>=2 c'est impossible donc q=+-1 et donc a=+-1 ce qui est impossible car -1<cos(pi/9)<1.
Merci Cauchy pour ton aide. 
Mais pour m'assurer que j'ai bien compris je vais te poser quelques questions...
en fait en posant a = cos (pi/9) tu remplaces en ecrivant cos(3a)= 4 a^3-3a . c'est bien ça ?
sinon il ya un truc que je n'ai pas compris c'est cette partie :Si |q|>=2 c'est impossible donc q=+-1 et donc a=+-1.
euh une autre question stp.
Voilà.
On pose 
=2
5+7.
1)calculer ² et (²-27)²
--> ²=27+435.
et (²-27)²=560.
2)Montrer que est un irrationnel.
J'ai commencé à raisonner par l'absurde
Supposons 25+7.
Si =p/q (avec p et q premiers entre eux)
Alors p= q(25+7)
d'où p²=q²(27+435)
ensuite je n'arrive pas à avancer...
Bon oui j'a fait cos(3a)=cos(pi/3)=1/2=...
Sinon pour ta 2eme question j'ai pas bien explique d'ailleurs c'est meme pas tres correct je corrige. On a q qui verife q^3+6q²-8=0.
q=cos(pi/9) donc on a forcement q>0 (dans le premier quart du cercle trigo) . Pour q>=2 tu as 6q²-8+q^3>0 et pour q=1 ca fait -1 donc il n'y a pas de solution entiere positive a q^3+6q²-8=0 (et donc a ne peut pas s'ecrire p/q)donc a n'est pas rationnel.
Pour ton autre exo tu as (a²-27)²=560 donc a²+729-54a²=560 soit -53a²+169=0.
Supposes a=p/q(p premier avec q) alors 53(p²/q²)=169 d'ou 53p²=169q². q² divise 53p² mais est premier avec p² donc q²/53 or 53 premier (donc n'as pas de facteur carre) donc q²=1 cad q=1. Donc si a est rationnel il est entier mais c'est impossible sinon par exemple a² serait entier et ca impliquerait racine(35) rationnel ce qui est faux.
euh désolé mais il ya encore un truc que je ne comprend pas c'est:1/q=cos(pi/9)(pk c'est egal ? q peut prendre n'impote quel valeur non ?)
d'accord ça j'avais compris p/q=cos(pi/9) mais vous avez dit a lire 1/q=cos(pi/9) et je ne vois pas pourquoi vous dites ça.
merci bien.
Ok. merci Cauchy pour toutes ces explications.
Bonjour Cauchy.
j'ai constaté un truc en relisant; où c'est moi qui n'a bien compris votre démarche ou alors il s'agit d'une erreur.
je cite "Pour ton autre exo tu as (a²-27)²=560 donc a²+729-54a²=560 soit -53a²+169=0."
ici ca ne donne pas a²+729-54a²=560
mais a^4+792-54a²=560 non?
donc ça change beaucoup de choses non ?
(p/q)^4-54(p/q)²=169
on met au meme denominateur on arrivera à 169q^4=p^4-54p²q²
donc q divise -54p² et q divise 169 d'où q divise p^4. et étant donné que q et p sontpremiers entre eux on a donc q=1 d'o* a=p
donc si a est rationnel il est entier Mais c'est impossible sinon par exemple a² serait entier et ca impliquerait racine(35) rationnel ce qui est faux.
) si a etait rationnel alors a² le serait aussi.
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