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Spé maths: nombres parfaits
Bonjour à tous
J'ai un problème sur un exercice sur les nombres parfaits, pourriez-vous m'aider?
Voici l'énoncé:
On rappelle qu'un nombre n est parfait lorsque la somme de ses diviseurs est égale à 2n.
1) p est un nombre premier, p>2. On note a=24p.
a) Trouvez tous les diviseurs de a (j'ai déjà trouvé ses diviseurs: 1,2,4,8,16,p,2p,4p,8p,16p).
Je bloque à partir de là:
b) Déduisez-en les valeurs de p pour lesquelles 24p est un nombre parfait.
2) p est un nombre premier, p>2. n est un entier naturel non nul. On note 
=2np.
a) Prouvez que la somme de tous les diviseurs de est (1+p)(2n+1-1).
b) Déduisez-en que si est parfait, alors p=2n+1-1.
Merci d'avance
bonjour
un nombre n est parfait si la somme de ses diviseurs est egale a 2*n
il faut calculer
1+2+4+8+16+p+2p+4p+8p+16p=31+31p
il faut donc resoudre 2*2^4*p=31+31*p
c est a dire 2^5*p=31+31p donc 32p=31+31p <=>p=31
je te fais la question 2a) et apres je vais manger, donc tu finira toi meme
les diviseurs de 2^n*p sont
1;2;4;.....2^n; p;2p;4p....;2^n*p
on doit donc calculer
(1+2+4+....2^n)+(p+2p+.....2^n*p)
or
1+2+4+...2^n est la somme des (n+1) termes d une suite geometrique de raison 2 et de premier terme 1 on a donc
1+2+...2^n=[2^(n+1)-1]/[2-1]=2^(n+1)-1
p+2p+...+2^n*p=p*(1+2+.....2^n)=p*[2^(n+1)-1]
donc
(1+2+4+....2^n)+(p+2p+.....2^n*p)=[2^(n+1)-1)]*[1+p]
et c est ce qu'on voulait...
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