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spé maths nombres premiers
salut...
je suis depité je vien d'avoir un DS de spé maths portant sur les similitudes et les nombres premiers de 14h a 15h et je n'ai pratiquement rien reussi...
j'avais un exercice sur les nombres premiers (/10pts) et je n'ai fait que la démo de cours, maintenant que ce DS est rendu pourriez-vous me dire ce qu'il fallait faire ?
merci...
1/ demo de cours : demontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.
(j'ai refait la démo que l'on avait fait en cours je la savais par coeur)
2/ soit p un nombre premier strictement plus grand que 2. demontrer que p est congru a 1 ou a -1 modulo 4. donner deux exemples de chacun des cas.
Le but de ce qui suit est de repondre a la question suivante : "les nombres premiers p congrus a -1 modulo 4 sont-ils en nombre fini ?"
Supposons que ce soit le cas. soit n le nombre de nombres premiers congrus a -1 modulo 4.
Notons A=p1p2....pn le produit de ces nombres et B=4A-1.
3/ montrer que B est congru a -1 modulo 4.
4/ soit q un diviseur premier de B.
montrer que q est distinct de chacun des nombres p1,p2,...,pn precedents.
5/ montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l'un au moins est congru a -1 modulo 4.
6/ quelle reponse apporter a la question posée ?
Seb
salut
2)
p est un nombre entier.
p peut etre congru a 0 1 -1 ou 2 modulo 4 ?
0 non car p premier si tel etait le cas p serzit divisible par 4.
2 non plus car sinon p pair et comme p > 2 p serait divisible par 2 tout en etant pas 2 donc un nombre non premier.
exemple pour les 2 autres cas :
3 = -1 [4]
5 = 1 [4]
3) c'est la definition meme de B.
4) si q est l'un des pi, q divise -1 donc q=1 non.
5)
soient les diviseurs premiers de B.
si tous sont congru a 1 modulo 4 alors B est congru a 1 modulo 4.ce qui n'est pas (reponse a la question 3).c'est donc qu'il en existe au moins 1 congru a -1 modulo 4.
6) quelle reponse ?
on a voulu montrer qu'il y en avait une infinite.
on a fait un raisonnement par l'absurde en supposant qu'il y en avait un nombre fini.
mais malqre tout on a trouve un autre nombre premier (je dis autre grace a la reponse 4) tel que celui ci soit congru a -1 modulo 4 (reponse 5).
contradiction. c'est donc notre hypothese de depart qui est fausse.
conclusion : une infinite....
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