Salut
je vous domme tout l'énoncé mais g réussi le 1 en entier.
Soit n un entier naturel non nul.
1 On pose A=n²+3 et B=n+2
a) Déterminer 2 entiers relatifs a et b tels que pour tout n on ait : n²+3=(n+2)(an+b)+7
b En déduire que PGCD (n²+3; n+2) = PGCD (n+2;7)
2 Pour quelles valeurs de n la fraction (n²+3)/(n+2) est telle irréductible?
3 Pour quelles valeurs de n la fraction (n²+3)/(n+2) est-elle un entier?
Je ne sais pas comment faire le 2/ et le 3/ Pouvez vous m'aidez?
Merci d'avance
Maryse
Si tu as fait le 1/b), tu as fait le plus dur.
Pour faire le 2 et le 3, tu dois réutiliser le résultat sur le PGCD que tu as trouvé au 1/
bonjour Maryse
pour le 2 et 3
2) vous avez déjà montré que :
PGCD (n²+3; n+2) = PGCD (n+2;7)
(n²+3)/(n+2) est irréductible ssi PGCD (n²+3; n+2)=1
cad n²+3 et n+2 sont premiers entre eux.
PGCD (n²+3; n+2)=1 ssi PGCD (n+2;7)=1
comme 7 est premier il suffit que 7 ne divise pas n+2.
il suffit que n ne soit pas congrue à -2 modulo 7.
3) (n²+3)/(n+2) est un entier ssi n+2 divise n²+3.
comme vous avez montré que:
n²+3=(n+2)n -2n+3=(n+2)n -2(n+2)+4+3=(n+2)(n-2)+7
donc a=1 et b=-2
n+2 divise n²+3 ssi n+2 divise 7 comme 7 est premier donc
n+2=1 ou n+2=7 donc n=-1 ou n=5
comme n appartient à N vous retenez uniquement la solution n=5.
voila bon courage
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