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Spé maths PGCD bac
A l'aide! Bonjour, j'ai un dm de maths spé, je ne sais vraiment pas comment démarrer... Si vous pouvez m'aider pour une ou deux questions svp ...
Partie a: diviseurs communs a deux entiers
soit deux nombres entiers positifs N et M tels que N=M+2
soit d un entier positif, diviseur commun à N et M.
Démontrer que d est un diviseur de 2, et en déduire les valeurs possibles de d;
Partie b: deux entiers impairs successifs
1. On suppose que dans cette partie N et M sont deux entiers positifs, impairs et successifs.
Demontrer que le pgcd de N et M est 1
2. on ecrit M sous la forme M=2n-1 , n un entier.
Etudier la parité de N * M
Partie c : etude en plusieurs etapes
soit n un entier naturel non nul, on considere les entiers suivents : N=a*n+1 et M=a*n-1
1. on suppose que n est un entier pair. On pose n= 2p, p un entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) Deduire le pgcd de M et N;
2.On suppose que n est un entier impair. On pose n=2p+1, p entier naturel.
Montrer que M et N sont des entiers pairs, puis conclure quant à leur pgcd.
3. Pour tout entier naturel non nul n, on considere (a^2) * (n^2) -1
a) Exprimer cet entier en fonction des entiers M et N
b) Demontrer que si n est pair alors (a^2) * (n^2) -1 est impair.
c) Demontrer que si (a^2) * (n^2) -1 est divisible par 4 ssi n est impair.
B.1. Soit d un diviseur commun de M et N.
On applique la question précédente : d = 1 ou 2
Or d divise un nombre impair, donc d ne peut être pair.
Donc d = 1
Donc le PGCD de M et N est 1.
B.2. On demande d'étudier la parité de (2m-1)(2m+1). Il suffit de développer, et la réponse est à portée de main.
Ça y est j'ai réussie à faire les questions 1a, 1b et 2 de la partie c 
par contre je n'y arrive plus à la question 3, il faut exprimer ( a^2 * n^2 ) - 1, en fonction de M et N.
M = a*n-1 et N = a*n+1
Comment est ce que je peux démarrer?
c.1.b) Si n est pair, en vertu d'une question précédente, le PGCD de N=a*n+1 et M=a*n-1 est 1.
Je pense qu'il faut supposer a impair. Ce n'est pas précisé dans ton énoncé. Tu as dû oublier de recopier une ligne 
c.2. Si n est impair, N=a*n+1 et M=a*n-1 sont tous les deux pairs. En vertu d'une question précédente, leur PGCD est 2.
c.3.a) a²n² - 1 = (an-1)*(an+1) = M*N
c.3.b) si n est pair, M et N sont impairs donc leur produit a²n² - 1 est impair.
c.3.c)
Montrons que a²n² - 1 divisible par 4 => n est impair.
Ceci découle de c.3.b) à l'aide d'un raisonnement par l'absurde.
Montrons que n est impair => a²n² - 1 divisible par 4.
Si n est impair, M et N sont tous les deux pairs, donc tous les deux divisibles par 2. Donc leur produit est divisible par 4.
D'où l'équivalence.
Sauf erreur.
Nicolas
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