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Spe maths : problème de rationnalité
Bonjour !
J'ai des exercices que je n'arrive pas du tout à résoudre. Pourriez vous m'aider, ou me donner des pistes de raisonnement ? Merci d'avance.
Exercice 1 :
a. Montrer que racine de 2 est irrationel
( ca, j'ai réussi, en faisant un raisonnement par l'absurde )
b. Montrer que a + b*(racine de deux)
est un irrationnel.
(Je pense que un nombre fois un irrationel reste un irrationnel, et que quand on rajoute un nombre aussi, mais je ne vois pas comment le dire de manière mathématique )
Exercice 2 :
a. Soit A une solution de x2+ax+b=0
Montrer que si A est rationnel, alors A est un entier
( Voici ce que j'ai fait :
delta = a2-4b
racine de delta = q/p avec pgcd q et p = 1
donc A=(-a-q/p)/2=(-ap-q)/2p
Mais je n'arrive pas à montrer que ce nombre est un entier ( peut- etre que je ne suis pas sur la bonne voie ?))
Encore merci pour vos réponses
Jaina
si on dit que A = p/q
avec p et q premiers entre eux.
alors p²/q² = -ap/q -b
et donc p²/q² = (-ap-bq)/q
ça veut dire que p²/q = -ap-bq
donc p² est divisible par q
mais p est premier avec q donc p² aussi, c'est absurde sauf si q = 1.
je crois que ça marche...lol
y a pas de quoi 
ça me fait plaisir !
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