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Spé : PPCM et PGCD
Bonsoir
Je vous donne l'énoncé d'un sujet qui est tombé au Bac et que j'ai en DM :
Soit (a,b) un couple d'entiers naturels =/= ; on note m leur Ppcm et d leur Pgcd.
Exprimer à l'aide de d, les couples (a,b) tels que :
b - a = d (1)
b² - a² = m - d² (2)
J'ai exprimer b en fonction de a et d d'après (1) et en retransposant dans (2), ça donne :
a (2d-a)=m
Mais, je suis pas plus avancé !
Merci d'avance pour votre aide 
si d est le pgcd de a et b alors a=d*a' et b=d*b' avec a' et b' premier entre eux !
donc b - a = d devient b'-a'=1
b²-a²=(b-a)(b+a)=m-d²
donc d(b+a)=m-d² or m=d*b'*a'
d'où d²(b'+a')=db'a'-d²
en simplifiant d(b'+a')=b'a'-d
or a'=b'-1
d(2b'-1)=b'(b'-1)-d
2d=b'-1
b'=2d+1
b=db'=2d²+d
et a=b-d=2d²
j'ai fait ça très rapidement sans relire donc il est tout à fait possible qu'il y est des erreurs. Merci de verifier !
b - a = d (1)
(2)
donc
b - a = d
d'ou
càd
à toi de simplifier c'est facile maintenant (n'oublies pas que )
Samir
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