Bonjour à toutes et à tous,
Alors voilà j'ai un petit exercice en spé et je vous avouerez que j'ai un petit peu de mal à le faire, voilà l'énoncer :
Soient a et b deux réels quelconque. On pose :
a+b 0 b
A = b a b
b 0 a+b
1 0 0
I = 0 1 0
0 0 1
1 0 1
J = 1 0 1
1 0 1
1. Montrer que, pour tous réels a et b, A s'exprime en fonction de I, J, a et b.
2.a. Calculer J2
b. Calculer, pour tout entier naturel n non nul Jn.
3.a. Calculer A2
b. Montrer que, pour tout entier naturel n :
An = anI + ([(a+2b)n-an]/2) x J
1 0 -1
4. On pose C = 1 0 -1
1 0 -1
a.On suppose dans cette question que a = 0 et que A est inversible. Calculer C(AA-1) et (CA)xA-1
En déduire par un raisonnement par l'absurde que, lorsque a est nul, la matrice A n'est pas inversible.
b. On suppose dans cette question que a + 2b = 0 et que A est inversible. Calculer J(AA-1) et (JA)A-1
En déduire comme dans la question précédente que lorsque a+2b = 0, A n'est pa inversible.
c. On suppose a 0 et a+2b
0 et on pose B = (1/a)*I - b/[a(a+2b)]*j
Alors voilà donc j'ai réussie :
1. On note A = aI+bJ
2 0 2
2.a. J2 = 2 0 2
2 0 2
2n-1 0 2n-1
b. Jn = 2n-1 0 2n-1
2n-1 0 2n-1
(a+b)² + b² 0 (a+b)b + b
3.a. A² = (a+b) + ab + b² a² b² + ab + (a+b)b
b² + (a+b)b 0 b² + (a+b)²
Alors voilà après je bloque un peu après donc est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour la suite et me dire aussi si ce que j'ai fais c'est bon !!
Merci d'avance à toutes et à tous et bon week-end !
Alex
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