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Spécialité congruence, fermat

Posté par
flo3299
13-06-12 à 11:43

bonjour à tous, j'aurais besoin d'un petit coup de main pour l'exo suivant svp :

on a démontré que g = 108k + 13

et que (a25)g congru à a modulo 133

Partie c :

On note A l'ensemble des entiers naturels a tels que : 1 < a < 26.
Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.
La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l'entier r tel que
a25 ≡ r [133] avec 0 < r < 133.
La phase de décodage consiste à associer à r , l'entier r1 tel que
r13≡ r1 [133] avec 0 É r1 < 133.
1. Justifier que r1 ≡ a [133].
2. Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.
Décoder ce message

1)  et là je bloque complètement merci d'avance

Posté par
sloreviv
re : Spécialité congruence, fermat 13-06-12 à 13:46

Bonjour
il faut montrer que (a^{25})^{13}-a\equiv 0[133]or  tu as montre que a^g\equiv a[133] et
tu sais que 25*13=108*3+1donc
(a^{25})^{13}=a^{108\times 3}\times a
a^6\equiv 1[7] et a^{18}\equiv 1[19] par Fermat donc a^{108}\equiv 1[7];a^{108}\equiv 1[19]autrement dit a^{108}-1 est divisible par 7 et 19 donc par 133 qui est  leur ppcm et
a^{108}-1\equiv 0[133];
a^{108}\equiv 1[133];donc
(a^{108})^{3}\equiv 1[133]
 \\  [tex]a^{108\times 3}\equiv 1[133]
 \\ [tex]a^{108\times 3}\times a\equiv a[133]

Posté par
sloreviv
re : Spécialité congruence, fermat 13-06-12 à 13:47

(a^{108})^{3}\equiv 1[133]

a^{108\times 3}\equiv 1[133]
a^{108\times 3}\times a\equiv a[133]

Posté par
sloreviv
re : Spécialité congruence, fermat 13-06-12 à 13:51

en fait c'est ce que tu as ecrit avant d'ecrire partie C avec k=0, donc g=13 , (a^{25})^{13}\equiv a[133]

Posté par
flo3299
re : Spécialité congruence, fermat 13-06-12 à 17:40

ah dacc merci , je ne pensais pas que l'on pouvait.. et pour le décodage ?

Posté par
sloreviv
re : Spécialité congruence, fermat 13-06-12 à 19:04

eh bien il faut faire 128^{13}\equiv?[133]or 128\equiv (-5)[133];donc on cherche (-5)^{13}\equiv ?[133]or (-5)^3=-125\equiv 8[133]donc reste a faire 8^4\times (-5)\equiv ?[13]or -20480=133*(-153,9...)donc 133*(-154)=-20482; -20480=-20482+2

128^{13}\equiv2[133]

Posté par
sloreviv
re : Spécialité congruence, fermat 13-06-12 à 19:09

avec 59 tu fais pareil et tu trouveras 3 comme decodage


59²=133*26 +23 donc reste a faire 23^6*59 or 23^2=529=4*133-3 donc reste a faire (-3)^3*59=-27*59=133*(-12)+3



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