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Spécialité: divisibilité

Posté par
terminales12014
23-10-14 à 17:18

Bonjour,
Voici un exercice de spécialité maths que je n'arive pas à résoudre:

1) Divisibilité par 7
N est un entier naturel, u est son chiffre des unités et n est l'entier obtenu en "amputant" N de u. (Par exemple, si N=1438, u+8 et n=143)
-Démontrer que N est divisible par 7 si et seulement si, n-2u est divisible par 7.

2)Divisibilité par 13
N est un entier naturel, u est son chiffre des unités et n est l'entier obtenu en "amputant" N de u. (Par exemple, si N=1438, u+8 et n=143)
-Démontrer que N est divisible par 13 si et seulement si, n-4u est divisible par 13.

Merci de votre aide.

Posté par
terminales12014
re : Spécialité: divisibilité 23-10-14 à 17:47

c

Posté par
watik
re : Spécialité: divisibilité 23-10-14 à 18:04

Bonjour

1)

N=ap10^p+a(p-1)10^(p-1)+...+10a1+u=10(ap10^(p-1)+a(p-1)10^(p-2)+...+a1)+u
donc
n=ap10^(p-1)+a(p-1)10^(p-2)+...+a1

n-2u=ap10^(p-1)+a(p-1)10^(p-2)+...+a1-2u

donc
10(n-2u)=ap10^p+a(p-1)10^(p-1)+...+10a1-20u
        =N-21u

en prenant les congruence modulo 7 de chaque membre on obtient:

3(n-2u)=N  (7)
si n-2u=0 (7) alors N=0 (7)
si N=0 (7) alors 3(n-2u)=0 (7)
en multipliant chaque membre par 5 on obtient 15(n-2u)=0 (7) donc n-2u=0 (7) car 15=1 (7)

donc on a montré l'équivalence: N=0 (7) ssi n-2u=0 (7)


2) divisibilité par 13.
je te laisse procéder de la même manière qu'en 1)

Posté par
terminales12014
re : Spécialité: divisibilité 23-10-14 à 21:10

Somebody help please..

Posté par
Lancaster
re : Spécialité: divisibilité 23-10-14 à 21:27

Bonsoir,

Question 1
Une méthode si tu n'as pas encore vu le théorème de Gauss .

N = 10 n + u . On peut poser P = n - 2 u .
Cherche deux relations entre N et P .
Avec l'une tu élimines n , avec l'autre tu élimines u .
( Tu vas voir apparaître un multiple de 7 ce qui est intéressant ! )

Etape 1
Il s'agit de montrer que si 7 divise N alors 7 divise P .

Etape 2
Il s'agit de montrer que si 7 divise P alors 7 divise N .

Pour chaque étape , utilise une des deux relations que tu auras trouvé .

Posté par
terminales12014
re : Spécialité: divisibilité 27-10-14 à 16:41

Les relations sont-elles: P= (N/10) - (21u/10) ?

Posté par
terminales12014
re : Spécialité: divisibilité 27-10-14 à 16:41

et N= 10P+21u



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