a = bq + r

a = (b+1)q' + r'  = bq' + q' + r'

donc le quotient ne change pas

j ne vois pa dutout comment tu e déduis cela

ce sujet n'inspire vraiment personne ?

bonsoir jugirlfriend

pour le 1:

a=bq+r avec 0<=r<b  et r>=q

ajoutez et retranchez b dans le second membre de a=bq+r.

vous obtenez
a = bq+q-q+r
  = (b+1)q+r-q

comme r>=q donc r-q>=0

et r<b donc r-q<b-q<b  car b-q<b (car q est positif comme entier naturel)

on vient donc de montrer que 0<=r-q<b
comme a=(b+1)q+r-q donc r-q est le reste de la division euclidienne de a par b+1 et que q est son quotion.


Pour la question 2)

a est un chiffre donc 0<=a<=9

comme b suit a donc b=a+1 et 1<=b<=10
comme b est aussi un chiffre on ne retient que 1<=b<=9

soit A=aabb

donc A=a10^3+a10²+10b+b
      =a10^3+a10²+10(a+1)+(a+1)  , car b=a+1
      =a(1000+100+10+1)+ 10+1
      =1111a+11

comme 11 divise 1111 car 1111=101*11
donc
A=11(101a+1)

caomme 11 est un nombre premier si A est un carré parfait 11² doit diviser A.

donc 11 divise 101a+1.

comme 0<=a<=9 les valeur possibles pour 101a+1 sont:
1 mais dans ce cas 11 ne divise pas 101a+1=1;
102 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=102;
203 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=203;
304 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=304;
405 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=405;
506  11  divise  101a+1=506=11*46;
607 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=607;
708 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=708;
809 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=809;
910 mais dans ce cas  11 ne divise pas 101a+1=910;

donc le seul cas où 11 divise 101a+1 est a=5 dans ce cas 11*(101a+1)=11*11*46

cad A=11²46 mais 46 n'est pas un carré parfait.

donc il n'existe pas d'entier A=aabb avec a et b deux chiffres qui se suivent et qui soit un carré parfait.

voila bon courage

Salut,


Exercice 1/

Je le redigerais "dans l'autre sens"...

a = bq + r, avec qr < b

en posant r' = r-q,  on a  0r' < b+1,

et a = bq + q + r'

donc a = (b+1)q + r'

C'est la definition de la division euclidienne de a par b+1, il y a unicite du quotient et du reste...

donc le quotient est bien le meme.

A+
biondo

Oups trop lent.
ca devient une habitude chez moi...