VOILA?MOI AUSSI J'AI LE MEME SUJET ALORS SI VOUS POURRIEZ
REPONDRE SE SERAI SYMPA CAR MOI NON PLUS JE COMPREND RIEN  !!!!!!!!!!
                                          
                                                                
        MERCI.

1::::::::::::::::::::
soit a et b deux entiers relatifs  
demontrer que pour tout entier relatif q
pgcd(a;b) = pgcd(b;a-bq )

2::::::::::::::::::
n entier naturel
en utilisant la reponse1  montrer que  :
pgcd(5 x n^3   -n    ;    n+2) = pgcd ( n+2; 38)

3::::::::::::::::::
déterminer l ensemble des entiers naturels n tels que (n+2) divise (5 x n^3
         -n)

4::::::::::::::::::
déterminer l ensemble des entiers naturels n tels que le pgcd de (n+2) et de
(5 x n^3 -n) soit égal à 19

*** message déplacé ***

1- Cela revient à montrer que pgcd(a,b)=pgcd(b,r)
avec a = bq+r   (1)
soit d un diviseur de a et b :
d divise a et d divise b, donc en utilisant l'égalité (1) on a
d divise r

soit d' un diviseur de b et de r, automatiquement, d' divise
a.
Il en résulte que les diviseurs communs à a et à b sont les même que
ceux communs à b et à r. Donc ils ont le même pgcd !


2- on sait que pgcd(a,b) = pgcd(abs(a);abs(b)) donc pgcd(n+2,38) = pgcd(n+2,-38)
Il faut trouver q tel que 5n^3-n-q(n+2)=-38
En effectuant la division euclidienne de 5n^3-n+38 par n+2, on trouve
q = 5n²-10n+19
qui est bien sûr entier.

3. En effectuant la division euclidienne de 5n^3-n par n+2 on trouve
5n²-10n reste 19n
soit (5n^3-n)/(n+2)=5n²-10n+(19n)/(n+2)
il faut donc que n+2 divise 19n, qui n'est vrai que pour n=0, n=17
et n=36

Je réfléchis à la suite plus tard, je dois sortir

*** message déplacé ***

en effet, il faut que n+2 divise 19n, c'est à dire, il faut
qu'il existe k entier naturel tel que 19n=(n+2)*k. Or, k doit
être inférieur à 19, sinon n pourrait être négatif. On essaie toute
les solutions pour k=0 à 19 et on constate que pour k=0, k=17 et
k=18 on a les valeurs de n : 0, 17, 36.


3. On a vu à la question 2 que pgcd(n+2;5n^3-n)=pgcd(n+2;38), il faut
donc chercher les n tels que pgcd(n+2;38)=19
On a bien 19 divise 38, il faut donc que 19 divise aussi n+2. Les nombres
n solution sont ceux de la forme n = 19k-2 avec k>1.


*** message déplacé ***

je voulais dire avec k>=1...

*** message déplacé ***