Bonjour Yahiko
une petite évaluation d'un certain angle peut-être

Chaque triangle a un angle de 90°

Sur cette figure tu peux connaître tous les angles et toutes les longueurs
Relis un peu ton titre ...

salut

oui malou mais ces angles ne me semblent pas simples

_{^{juste pour suivre, je repars ...}}

Ils ont tous un coté de longueur 1 et les deux autres cotés diminuent en taille car c'est une spirale

Bonjour
Tu peux calculer hypoténuse du premier triangle, Donc tu connais les deux côtés du deuxième.
Tu peux alors calculer son hypoténuse et réitérer.

Salut Jean ,

Donc si je comprends bien , j'applique le théorème de Pythagore pour chaque triangle .

J'ai fait le premier :

A'B²=BC²+A'C'
A'B²=1²+1²
A'B²=1+1
A'B=2
A'B=2 1,4

il n'y a pas besoin de valeur approchée

je t'invite à noter A₁, A₂, A₃ = A, ..., A₁₁ = C les sommets correspondants à l'angle droit des triangles

combien vaut BA_k (hypoténuse des triangles rectangles)

dans quelle leçon se trouve cet exercice ?

Je dois appliquer le théorème de Pythagore pour chaque triangles ?
Je suis actuellement dans le chapitre de la trigonometrie

Les hypoténuses des triangles sont : 1er triangle = 1 ; 2=2 ; 3=3 ; 4=4 ; 5=5 ; 6=6 ; 7= 7 ; 8=8 ; 9=9 ; 10=10 ; 11=11

ok

maintenant on peut bien évidemment calculer l'angle des triangles de sommet B grâce à la trigonométrie mais on n'aura qu'une valeur approchée vu ces résultats

aussi je ne vois pas comment on peut faire pour la suite ...

Bonjour,

on pourra conclure si les valeurs approchées sont suffisamment précises ... (en gardant TOUTES les décimales de la calculette)
par exemple ne pas se contenter de atan(1/sqrt(5)) 24° mais la calculette de windows par exemple donne 24,094842552110700967071041634711

PS un calcul approché ne permet pas de conclure à une égalité, mais pour une inégalité, si.

Je calcule l'angle B du premier triangle :
Cos(1/1)0,54
Arccos(0,54)1,0003° = 1°

ton calcul est complètement faux

tu mélanges la signification des angles, des cosinus et des arc cosinus
de plus tu dois régler ta calculette en degrés si tu veux avoir des degrés
et enfin de quel angle parles tu ???
connais tu bien la définition, du cosinus ??
cosinus = coté adjacent / hypoténuse

le coté adjacent BA0 = 1, l'hypoténuse BA1 = 2 !!
le cosinus vaut donc 1/2
et l'angle arccos(1/2) = très précisément 45° (ce que l'on savait déja : triangle rectangle isocèle)
et qui ne sert à rien vu que on devrait commencer les calculs d'angles à partir du triangle suivant le point A (le 3ème triangle)
angle ABA3 de ma figure
qui pour des raisons purement géométriques (demi-triangle équilatéral) vaut très exactement 30°
(arccos(1/3))

moi aussi des erreurs sur le calcul de mon angle de 30°
c'est arccos(3/4)

D'accord , à l'aide des angles B des différents triangles comment pourrais-je justifier que les points A,B et C sont alignés ?

si la somme des angles est de exactement 180° ils sont alignés
sinon non.

D'accord ,

1er triangle : arccos =3/4=30°
2 : arccos =4/5=26,56505118°
3 : arccos =5/6=24,09484255°
4 : arccos =6/7=22,2076543°
5 : arccos =7/8=20,70481105°
6 : arccos =8/9=19,47122063°
7 : arccos =9/10=18,43494882°
8 : arccos =10/11=17,54840061°

J'ai fait la somme de ces résultats et je trouve : 179,0269291°

donc on peut arrondir par excès pour être certain que l'angle est strictement inférieur à 179.03° donc inférieur à 180°

et attention au = entre arccos et son argument ...

hello,
pour montrer qu'on est sûr de ne pas atteindre les 180°, on aurait pu peut-être arrondir à 2 chiffres après la virgule, toujours par valeurs supérieures, et montrer que même comme ça on n'atteint pas les 180

non ?

après coup maintenant qu'on sait quel est l'écart oui.

oui, complètement d'accord qu'on ne pouvait faire ça que dans un 2e temps, au vu de l'écart
merci pour ta réponse

D'accord,
Donc je garde 179,03° et je dis que les points A,B et C ne sont pas alignés car l'angle est inférieur à 180° ?

oui,
le sens dans lequel on effectue les arrondis (par excès ou par défaut) est fondamental pour pouvoir conclure

ici on effectue les arrondis par excès de sorte qu'on est certain que la vraie valeur de l'angle est strictement inférieure à la valeur arrondie, donc aussi à 180°.

D'accord, merci à vous tous pour votre aide.
Bonne journée.

Salut,
Remarque informative.
On peut faire une demonstration (calculs exacts) avec Xcas, GeoGebra ou autre.

A1:=point(-sqrt(3));B:=point(0);
triangle_rectangle(A1,B,1/sqrt(3),A2);
triangle_rectangle(A2,B,1/sqrt(4),A3);
triangle_rectangle(A3,B,1/sqrt(5),A4);
triangle_rectangle(A4,B,1/sqrt(6),A5);
triangle_rectangle(A5,B,1/sqrt(7),A6);
triangle_rectangle(A6,B,1/sqrt(8),A7);
triangle_rectangle(A7,B,1/sqrt(9),A8);
triangle_rectangle(A8,B,1/sqrt(10),A9);

angle(B,A9,A1) // renvoie la valeur exacte de l'angle ABC

approx(angle(B,A9,A1));approx(angle(B,A9,A1))*180/pi;

simplifier(ordonnee(A9)) // renvoie la valeur exacte de l'ordonnee de C

approx(ordonnee(A9))

Un oubli

est_aligne(A1,B,A9) // renvoie 0 donc A,B,C ne sont pas alignes

je demande à voir ce que peut bien être la valeur exacte d'un angle, autrement que écrit sous forme d'un arc truc explicite.

par exemple la seule façon d'écrire la valeur exacte de l'angle aigu d'un triangle de côtés (le triangle bleu)
est écrit arctan, ou de façon équivalente en arc cos ou arc sin.



ça nous fait une belle jambe d'avoir une somme algébrique de racines carrées diverses dans une expression quasiment illisible de 6 lignes avec des coefficients genre 1911168384430658223954468 !

cette somme est elle nulle ou pas ?
toute la question est là !
la seule façon de le démontrer sans calculs d'approximation serait justement de prouver, par le raisonnement, qu'une telle somme n'est pas nulle.

conjecture (à ce stade) :
dans une spirale de Pythagore poursuivie aussi loin qu'on veut, il n'y a aucune paire de points alignés avec le centre.

tentative de preuve :
on utilise la formule étendue à une somme d'un nombre quelconque d'arc tangentes
et alors on a (prouvé) que la valeur exacte de l'angle sera de la forme

avec les a_i, b_i et k des nombres entiers, et les b_i différents
il s'agit maintenant de prouver qu'une telle somme avec des b_i tous différents n'est jamais nulle...

on est bien loin de l'exo niveau première !!
on est plutôt dans le supérieur, et encore, sur l'étude des sous corps de ...

Bonjour mathafou

d'après la page en anglais de wikipedia, ce résultat n'aurait été prouvé qu'en 1958 par un certain Kaleb Williams ()

Mais je ne trouve pas la publication. Uniquement par curiosité, j'aurais bien voulu voir comment ça se prouve. . Est-ce lié à la transcendance de ?

pi n' a pas son mot à dire là dedans

il s'agit de prouver qu'une combinaison linéaire à coefficients non nuls de racines carrées d'entiers différents (non entières donc irrationnelles) est irrationnelle

on trouve couramment l'exo de prouver que est irrationnel,
de temps en temps de prouver de même que est irrationnel
on ne propose jamais de prouver que quels que soient x et y de * (entiers relatifs non nuls) est irrationnel
encore moins de le généraliser à un nombre quelconque de racines carrées d'entiers quelconques différents ...

PS en fait il s'agit d'étudier les extensions de corps


en particulier tout élément de ce corps peut s'écrire de façon unique sous la forme où les x_i et les b_i forment une base vectorielle de E sur
par exemple tous les éléments de peuvent s'écrire de façon unique , x,y,z,t
est une base vectorielle de sur
en particulier si et seulement si x = y = z = t = 0

Bonjour,

Bonjour à tous,
@lake,
Que trouves-tu comme valeur approchée pour ?

Bonjour Sylvieg,
Tu m'inquiètes ...
Et à juste titre !
J'avais lu 3.139 par excès alors que c'est 3.3139.
Désolé.
Admettons que je n'ai rien dit

mais là on est toujours "obligé" de terminer par un calcul approché

c'est ça qui "m'inquiétait" (sans excès)

faire confiance à Xcas qui affirme que son expression finale imbuvable ne peut pas se simplifier en 0 , c'est vu de mon côté un échec de raisonnement
qu'il (Xcas) nous en fasse la "preuve" par une approximation finale n'est pas satisfaisant.

même si utiliser une calculette (ou un logiciel) pour faire ces calculs d'une façon ou d'une autre est largement suffisant dans le cadre de l'exo de 1ère.

Bonsoir mathafou

mathafou @ 10-10-2023 à 10:43

on ne propose jamais de prouver que quels que soient x et y de * (entiers relatifs non nuls) est irrationnel