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Spirale Pythagore

Posté par
Yahiko
07-10-23 à 12:31

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide concernant un exercice sur le spirale de Pythagore.

Voici l'énoncé :

La figure ci-dessous représente une spirale de Pythagore. Les points A,B et C sont-ils alignés ?
Justifier votre réponse

Je ne sais pas comment m'y prendre mon répondre à la question ?

Spirale Pythagore

Posté par
malou Webmaster
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 12:40

Bonjour Yahiko
une petite évaluation d'un certain angle peut-être

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 12:47

Chaque triangle a un angle de 90°

Posté par
malou Webmaster
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 12:58

Sur cette figure tu peux connaître tous les angles et toutes les longueurs
Relis un peu ton titre ...

Posté par
carpediem
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 13:05

salut

oui malou mais ces angles ne me semblent pas simples

juste pour suivre, je repars ...

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 13:36

Ils ont tous un coté de longueur 1 et les deux autres cotés diminuent en taille car c'est une spirale

Posté par
jean3
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 13:53

Bonjour
Tu peux calculer hypoténuse du premier triangle, Donc tu connais les deux côtés du deuxième.
Tu peux alors calculer son hypoténuse et réitérer.

Posté par
malou Webmaster
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 14:05

carpediem @ 07-10-2023 à 13:05

salut

oui malou mais ces angles ne me semblent pas simples

juste pour suivre, je repars ...


oui, effectivement, me suis emballée un peu vite

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 14:11

Salut Jean ,

Donc si je comprends bien , j'applique le théorème de Pythagore pour chaque triangle .

J'ai fait le premier :

A'B²=BC²+A'C'
A'B²=1²+1²
A'B²=1+1
A'B=2
A'B=2 1,4

Posté par
carpediem
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 17:35

il n'y a pas besoin de valeur approchée

je t'invite à noter A1, A2, A3 = A, ..., A11 = C les sommets correspondants à l'angle droit des triangles

combien vaut BAk (hypoténuse des triangles rectangles)

dans quelle leçon se trouve cet exercice ?

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 20:00

Je dois appliquer le théorème de Pythagore pour chaque triangles ?
Je suis actuellement dans le chapitre de la trigonometrie

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 07-10-23 à 20:41

Les hypoténuses des triangles sont : 1er triangle = 1 ; 2=2 ; 3=3 ; 4=4 ; 5=5 ; 6=6 ; 7= 7 ; 8=8 ; 9=9 ; 10=10 ; 11=11

Posté par
carpediem
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 09:45

ok

maintenant on peut bien évidemment calculer l'angle des triangles de sommet B grâce à la trigonométrie mais on n'aura qu'une valeur approchée vu ces résultats

aussi je ne vois pas comment on peut faire pour la suite ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 11:35

Bonjour,

on pourra conclure si les valeurs approchées sont suffisamment précises ... (en gardant TOUTES les décimales de la calculette)
par exemple ne pas se contenter de atan(1/sqrt(5)) 24° mais la calculette de windows par exemple donne 24,094842552110700967071041634711

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 11:36

PS un calcul approché ne permet pas de conclure à une égalité, mais pour une inégalité, si.

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 11:56

Je calcule l'angle B du premier triangle :
Cos(1/1)0,54
Arccos(0,54)1,0003° = 1°

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 13:08

ton calcul est complètement faux

tu mélanges la signification des angles, des cosinus et des arc cosinus
de plus tu dois régler ta calculette en degrés si tu veux avoir des degrés
et enfin de quel angle parles tu ???
connais tu bien la définition, du cosinus ??
cosinus = coté adjacent / hypoténuse
Spirale Pythagore
le coté adjacent BA0 = 1, l'hypoténuse BA1 = 2 !!
le cosinus vaut donc 1/2
et l'angle arccos(1/2) = très précisément 45° (ce que l'on savait déja : triangle rectangle isocèle)
et qui ne sert à rien vu que on devrait commencer les calculs d'angles à partir du triangle suivant le point A (le 3ème triangle)
angle ABA3 de ma figure
qui pour des raisons purement géométriques (demi-triangle équilatéral) vaut très exactement 30°
(arccos(1/3))

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 13:14

moi aussi des erreurs sur le calcul de mon angle de 30°
c'est arccos(3/4)

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 13:18

D'accord , à l'aide des angles B des différents triangles comment pourrais-je justifier que les points A,B et C sont alignés ?

Posté par
carpediem
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 14:16

carpediem @ 08-10-2023 à 09:45

maintenant on peut bien évidemment calculer l'angle des triangles de sommet B grâce à la trigonométrie mais on n'aura qu'une valeur approchée vu ces résultats

et
mathafou @ 08-10-2023 à 11:35

on pourra conclure si les valeurs approchées sont suffisamment précises ... (en gardant TOUTES les décimales de la calculette)
par exemple ne pas se contenter de atan(1/sqrt(5)) 24° mais la calculette de windows par exemple donne 24,094842552110700967071041634711

et
mathafou @ 08-10-2023 à 11:36

PS un calcul approché ne permet pas de conclure à une égalité, mais pour une inégalité, si.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 14:26

si la somme des angles est de exactement 180° ils sont alignés
sinon non.

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 15:28

D'accord ,

1er triangle : arccos =3/4=30°
2 : arccos =4/5=26,56505118°
3 : arccos =5/6=24,09484255°
4 : arccos =6/7=22,2076543°
5 : arccos =7/8=20,70481105°
6 : arccos =8/9=19,47122063°
7 : arccos =9/10=18,43494882°
8 : arccos =10/11=17,54840061°

J'ai fait la somme de ces résultats et je trouve : 179,0269291°

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 18:50

donc on peut arrondir par excès pour être certain que l'angle est strictement inférieur à 179.03° donc inférieur à 180°

Posté par
carpediem
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 18:58

et attention au = entre arccos et son argument ...

Posté par
malou Webmaster
re : Spirale Pythagore 08-10-23 à 19:05

hello,
pour montrer qu'on est sûr de ne pas atteindre les 180°, on aurait pu peut-être arrondir à 2 chiffres après la virgule, toujours par valeurs supérieures, et montrer que même comme ça on n'atteint pas les 180

non ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 11:14

après coup maintenant qu'on sait quel est l'écart oui.

Posté par
malou Webmaster
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 11:57

oui, complètement d'accord qu'on ne pouvait faire ça que dans un 2e temps, au vu de l'écart
merci pour ta réponse

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 13:04

D'accord,
Donc je garde 179,03° et je dis que les points A,B et C ne sont pas alignés car l'angle est inférieur à 180° ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 13:11

oui,
le sens dans lequel on effectue les arrondis (par excès ou par défaut) est fondamental pour pouvoir conclure

ici on effectue les arrondis par excès de sorte qu'on est certain que la vraie valeur de l'angle est strictement inférieure à la valeur arrondie, donc aussi à 180°.

Posté par
Yahiko
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 15:48

D'accord, merci à vous tous pour votre aide.
Bonne journée.

Posté par
alb12
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 18:06

Salut,
Remarque informative.
On peut faire une demonstration (calculs exacts) avec Xcas, GeoGebra ou autre.


A1:=point(-sqrt(3));B:=point(0);
triangle_rectangle(A1,B,1/sqrt(3),A2);
triangle_rectangle(A2,B,1/sqrt(4),A3);
triangle_rectangle(A3,B,1/sqrt(5),A4);
triangle_rectangle(A4,B,1/sqrt(6),A5);
triangle_rectangle(A5,B,1/sqrt(7),A6);
triangle_rectangle(A6,B,1/sqrt(8),A7);
triangle_rectangle(A7,B,1/sqrt(9),A8);
triangle_rectangle(A8,B,1/sqrt(10),A9);

angle(B,A9,A1) // renvoie la valeur exacte de l'angle ABC

approx(angle(B,A9,A1));approx(angle(B,A9,A1))*180/pi;

simplifier(ordonnee(A9)) // renvoie la valeur exacte de l'ordonnee de C

approx(ordonnee(A9))

Posté par
alb12
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 18:52

Un oubli


est_aligne(A1,B,A9) // renvoie 0 donc A,B,C ne sont pas alignes

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 09-10-23 à 19:05

je demande à voir ce que peut bien être la valeur exacte d'un angle, autrement que écrit sous forme d'un arc truc explicite.

par exemple la seule façon d'écrire la valeur exacte de l'angle aigu d'un triangle de côtés \left(1, \sqrt{5}, \sqrt{6}\right) (le triangle bleu)
est \arctan \dfrac{\sqrt{5}}{5} écrit arctan, ou de façon équivalente en arc cos ou arc sin.

Spirale Pythagore

ça nous fait une belle jambe d'avoir une somme algébrique de racines carrées diverses dans une expression quasiment illisible de 6 lignes avec des coefficients genre 1911168384430658223954468 !

cette somme est elle nulle ou pas ?
toute la question est là !
la seule façon de le démontrer sans calculs d'approximation serait justement de prouver, par le raisonnement, qu'une telle somme n'est pas nulle.

conjecture (à ce stade) :
dans une spirale de Pythagore poursuivie aussi loin qu'on veut, il n'y a aucune paire de points alignés avec le centre.

tentative de preuve :
on utilise la formule  \arctan a + \arctan b = \arctan \dfrac{a+b}{1-ab} étendue à une somme d'un nombre quelconque d'arc tangentes
et alors on a (prouvé) que la valeur exacte de l'angle sera de la forme

\arctan\dfrac{\sum a_i\sqrt{b_i}}{k} avec les ai, bi et k des nombres entiers, et les bi différents
il s'agit maintenant de prouver qu'une telle somme avec des bi tous différents n'est jamais nulle...

on est bien loin de l'exo niveau première !!
on est plutôt dans le supérieur, et encore, sur l'étude des sous corps de ...

Posté par
fabo34
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 10:05

Bonjour mathafou

d'après la page en anglais de wikipedia, ce résultat n'aurait été prouvé qu'en 1958 par un certain Kaleb Williams ()

Mais je ne trouve pas la publication. Uniquement par curiosité, j'aurais bien voulu voir comment ça se prouve. . Est-ce lié à la transcendance de ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 10:43

pi n' a pas son mot à dire là dedans

il s'agit de prouver qu'une combinaison linéaire à coefficients non nuls de racines carrées d'entiers différents (non entières donc irrationnelles) est irrationnelle

on trouve couramment l'exo de prouver que \sqrt{2} est irrationnel,
de temps en temps de prouver de même que \sqrt{3} est irrationnel
on ne propose jamais de prouver que quels que soient x et y de * (entiers relatifs non nuls) x\sqrt{2}+y\sqrt{3} est irrationnel
encore moins de le généraliser à un nombre quelconque de racines carrées d'entiers quelconques différents ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 11:30

PS en fait il s'agit d'étudier les extensions de corps

E = \Q(\{\sqrt{a_i}\})
en particulier tout élément de ce corps peut s'écrire de façon unique sous la forme  \sum x_i\sqrt{b_i} où les xi et les bi forment une base vectorielle de E sur
par exemple tous les éléments de \Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) peuvent s'écrire de façon unique x + y\sqrt{2}+z\sqrt{3} +t\sqrt{6}, x,y,z,t
(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}) est une base vectorielle de \Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) sur
en particulier 0 = x + y\sqrt{2}+z\sqrt{3} +t\sqrt{6} si et seulement si x = y = z = t = 0

Posté par
lake
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 16:33

Bonjour,

Citation :
je demande à voir ce que peut bien être la valeur exacte d'un angle, autrement que écrit sous forme d'un arc truc explicite.


Si ce n'est que ça qui "gène", on peut toujours utiliser \arctan\,x\leq x sur [0,1] par exemple.

\widehat{ABC}= \sum_{k=3}^{10}\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right)\leq \sum_{k=3}^{10}\dfrac{1}{\sqrt{k}}

La dernière somme est strictement inférieure à \pi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 17:31

Bonjour à tous,
@lake,
Que trouves-tu comme valeur approchée pour \sum_{k=3}^{10}\dfrac{1}{\sqrt{k}} ?

Posté par
lake
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 17:42

Bonjour Sylvieg,
Tu m'inquiètes ...
Et à juste titre !
J'avais lu 3.139 par excès alors que c'est 3.3139.
Désolé.
Admettons que je n'ai rien dit

Posté par
mathafou Moderateur
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 19:01

mais là on est toujours "obligé" de terminer par un calcul approché

c'est ça qui "m'inquiétait" (sans excès)

faire confiance à Xcas qui affirme que son expression finale imbuvable ne peut pas se simplifier en 0 , c'est vu de mon côté un échec de raisonnement
qu'il (Xcas) nous en fasse la "preuve" par une approximation finale n'est pas satisfaisant.

même si utiliser une calculette (ou un logiciel) pour faire ces calculs d'une façon ou d'une autre est largement suffisant dans le cadre de l'exo de 1ère.

Posté par
fabo34
re : Spirale Pythagore 10-10-23 à 20:51

Bonsoir mathafou

mathafou @ 10-10-2023 à 10:43

on ne propose jamais de prouver que quels que soient x et y de * (entiers relatifs non nuls) x\sqrt{2}+y\sqrt{3} est irrationnel


Si x\sqrt{2}+y\sqrt{3} =p/q , alors on mets au carré et on arrive à  \sqrt{6} rationnel, ce qui est impossible. Est-ce bien cela?

mathafou @ 10-10-2023 à 10:43

encore moins de le généraliser à un nombre quelconque de racines carrées d'entiers quelconques différents ...


A partir de 3 racines, par exemple pour x\sqrt{2}+y\sqrt{3}+z\sqrt{5} =p/q, la mise au carré ne fonctionne plus, car on obtient qu'une combinaison linéaire de \sqrt{xy}, \sqrt{xz},\sqrt{yz}  est rationnelle, ce qui n'est pas forcément contradictoire; une somme d'irrationels peut-être rationnelle.

Quelle méthode utilise-t-on alors?



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