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statistiques à 2 variables

Posté par
vanilla356664
15-02-23 à 18:02

Bonjour à tous! j'ai un exercice à réaliser, quelqu'un pourrait m'éclairer sur le sujet ? merci d'avance !

Afin de freiner l'évolution d'une maladie de l'œil : on injecte par intraveineuse un médicament qui permet de mieux vasculariser la rétine et son pourtour.
A t = 0, on injecte 1,8mg de médicament (appelée dose de charge). Une pompe injecte ensuite le médicament de manière continue.
On admet que la quantité de médicament présente dans le sang évolue au cours du temps et que, grâce à l'élimination rénale, elle ne peut dépasser une valeur limite « l ».
Dans la pratique, on dit que l'état stationnaire d'un médicament est atteint dès que la quantité de ce médicament dans le sang s'approche à moins de 1mg de cette valeur limite « l ».
On veut estimer l'état stationnaire du médicament considéré et envisager à partir de quand il sera atteint.
On effectue 7 mesures régulières pendant 24 heures et on consigne les résultats dans le tableau suivant. On note t la variable temps (en heure) qui prend les valeurs t; et q la variable quantité de médicaments (en mg) qui prend les valeurs qi.

1.Tracer le nuage de points de la série statistique de deux variables t et q. Expliquer pourquoi il semble qu'on ne puisse pas envisager un ajustement affine.

2. Calculer les coordonnées du point moyen.

3. On envisage un changement de variable pour déterminer une expression de q en fonction de t.
a. On pose yi = In(36 - qi). Déterminer les valeurs de la variable y arrondies à 10^-3 près.
b. Calculer la droite de régression de y en t.

4. En utilisant la droite de régression, exprimer q en fonction de y puis de q en fonction t.

5. Déterminer la limite de la variable q lorsque t tend vers +

6. Démontrer que, selon cet ajustement, l'état stationnaire sera atteint en moins de 4 jours.

le tableau :
ti | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24
qi | 1,8 | 9,5 | 15,5 | 20,2 | 23,7 | 26,8 | 28,7

1. voici le nuage de point que j'ai obtenu : (voir pièce jointe), pour dire pourquoi on ne peut pas envisager un ajustement affine, je dois simplement dire que il n'y a pas de proportionnalité ?

statistiques  à 2 variables

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 15-02-23 à 19:21

Bonsoir

Vous pouvez dire cela ou en disant que les points ne sont guère alignés. La fonction admet une limite

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 15-02-23 à 19:34

Unités 2.5 pour 5 en abscisses et 1cm pour 5 unités en ordonnées

Coordonnées du point moyen ?

statistiques  à 2 variables

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 16:30

Bonjour! merci pour vos indications,
comme coordonnées du point moyen j'ai trouvé (12;18.03)

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 16:47

Bonjour

moi aussi, les résultats


Paramètres           X Y
Moyenne            : 12 18,0286
Écart type         : 8 9,02532
Premier décile     : 0 1,8
Premier quartile   : 4 9,5
Médiane            : 12 20,2
Troisième quartile : 20 26,8
Neuvième décile     : 24 28,7

Calculs
Covariance         : 70,5714
Coefficient de corrélation linéaire : 0,977409
Coefficient de corrélation : 0,977409
Nature de la régression    : Aucune
Équation de la courbe de régression :

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 17:31

super ! j'ai juste une question par rapport aux coordonnées, sur les copies il est préférable de mettre un nombre entier (par exemple ici mettre (12;631/35)) ou on peux laisser un nombre à virgule sans soucis (donc (12;18.03)) ?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 17:41

Sur la copie, vous pouvez écrire le résultat de votre calcul puis une valeur approchée,  mais sur le graphique, c'est forcément une valeur approchée

j'écrirais  \dfrac{631}{35}\approx 18,03

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 17:48

d'accord merci!
ensuite pour la question 3.a) il faut calculer pour tous les points ?
par exemple : y1=ln(36-1,8)=3,53
puis y2=ln(36-9,5)=3,28
etc… jusqu'à y7 ?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 17:55

Bien sûr.

Avec une calculatrice ou un tableur, cela ne pose pas de problème.

Il faut lire un texte

Citation :
Déterminer les valeurs de la variable y arrondies à 10^-3 près.


C'est stupide de perdre des points pour si peu.

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 17:59

donc 0,00353 ?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 18:05

3 chiffres après la virgule  3,532 puisque le quatrième est 2

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 18:40

ah oui effectivement j'ai un peu de mal avec les chiffres significatifs n'avez-vous pas des fiches de cours sur cette plateforme?

pour la 3.b) j'ai trouvé
y =-0,0648x + 3,5356
R^2 = 0,9997

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 18:45

\begin{array}{|*{8}{c|}}\hline q_i&0&4&8&12&16&20&24\\\hline  t_i&1,8&9,5&15,5&20,2&23,7&26,8&28,7\\\hline y_i&3,532&3,277&3,020&2,76&2,510&2,219&1,988\\\hline\end{array}

Quant à la droite de régression y=-0,005t+2,902

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 18:57

comment ça se fait que l'on a pas le même résultat pour la droite de régression?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 19:05

Avec la calculatrice, j'ai obtenu ce résultat

statistiques  à 2 variables

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 19:12

Sans doute parce que j'ai gardé tous les chiffres. Il n'y a pas eu d'arrondis à 10^{-3}

Sinon avec un autre logiciel, il y a bien le même résultat



Paramètres           X Y
Moyenne            : 12 2,75686
Écart type         : 8 0,520218
Premier décile     : 0 1,98
Premier quartile   : 4 2,219
Médiane            : 12 2,76
Troisième quartile : 20 3,277
Neuvème décile     : 24 3,532

Calculs
Covariance         : -4,16114
Coefficient de corrélation linéaire : -0,999856
Coefficient de corrélation : - 0,999856
Nature de la régression    : Linéaire
Équation de la courbe de régression : y = -0,06501785714 x + 3,537071429

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 19:18

j'ai obtenu le résultat grâce à excel, donc je garde quel résultat pour répondre à la question?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 20-02-23 à 19:24

y=-0,065 t+3,537

Votre premier résultat.  On ne peut pas prendre plus de 3 décimales puisque l'on a des nombres à 10^{-3}

En ajoutant des décimales, le 6 n'est pas acquis

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 16:11

ok!

ensuite, pour la question 4) j'ai juste à refaire des graphique avec excel en fonction de ce qui est demandé?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 16:25

Il n'est pas demandé de graphique, mais d'exprimer q en fonction de t.

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 17:41

oui mais d'après la droite de régression des 2 graphiques, on voit :
q en fonction de t : croissant
q en fonction de y : décroissant
par contre pour exprimer je ne vois pas comment le dire

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 17:47

Vous avez montré y=-0,065t+3,537  et vous savez que, par définition, y=\ln(36-q_i) on peut donc bien écrire q_i en fonction de t_i

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 17:55

t = ln(36-q)/0,065+3,537 ?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 18:06

Ce n'est pas t que l'on veut, mais q.

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 18:13

oui donc ensuite,
q=(ln(36)/(0,065+3,537))-t ?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 18:18

???

\ln (36-q)=-0,065t+3,537

On applique la fonction exponentielle

\text{e}^{\ln(36-q)}=\text{e}^{-0,065t+3,537}

d'où q=

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 18:23

q = -e^(-0,065t+3,357)+36 ?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 21-02-23 à 18:27

Un peu dans le désordre  3,537  et non 3,357
sinon oui

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 01:48

d'accord.. et oui faute de frappe

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 09:38

Je n'en doute pas. C'était pour vous éviter de propager cette erreur

Maintenant limite ?

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 12:07

il manque juste d'abord quand la question 4 exprimer q en fonction de y
et je n'ai pas trop compris comment faire..

petite question pour q en fonction de t, si je mets
q = e^(-0,065t+3,537)-36, c'est bien correct aussi?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 12:21

Cela a été effectué en cours de route, vous aviez y=\ln (36-q)

en prenant l'exponentielle, on a \text{e}^y=\text{e}^{\ln (36-q)}

\text{e}^y=36-q d'où q=36-\text{e}^y

C'est bien ce que vous avez effectué, mais les deux simultanément.


q=36-\text{e}^{-0,065t+3,537}

Vous ne pouvez pas écrire l'opposé

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 12:33

ok parfait!
pour les limites j'ai un peu de mal on viens seulement de commencer le chapitre dessus.
on prends l'expression q=36-e^(-0,065t+3,537)?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 12:39

Que vaut \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x} ?

ensuite  \displaystyle \lim_{t\to +\infty}-0,065t+3,537 ?


puis \displaystyle \lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-0,065t+3,537} ?

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 13:05

hekla @ 22-02-2023 à 12:39

Que vaut \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x} ?

+

ensuite  \displaystyle \lim_{t\to +\infty}-0,065t+3,537 ?

-

puis \displaystyle \lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-0,065t+3,537} ?

-

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 13:18

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x}=+\infty   Non

\displaystyle \lim_{t\to +\infty}-0,065t+3,537=-\infty oui


\displaystyle \lim_{t\to +\infty}\text{e}^{-0,065t+3,537}=-\infty Non

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 13:25

le premier et 3e sont égale à 0?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 13:39

Oui

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x}=0

ensuite  \displaystyle \lim_{t\to +\infty}-0,065t+3,537=-\infty

puis \displaystyle \lim_{t\to +\infty}text{e}^{-0,065t+3,537}=0

donc \displaystyle \lim_{t\to +\infty}(36- \text{e}^{-0,065t+3,537})=

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 13:54


donc \displaystyle \lim_{t\to +\infty}(36- \text{e}^{-0,065t+3,537})=


=36?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 13:55

Évidemment 36-0=36

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 13:58

d'accord! par contre comment justifier que c'est égale à 0 pour lim e^-x et lim e^-0,065t+3,537 ?

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 14:02

En s'appuyant sur le cours

\displaystyle \lim_{X\to +\infty} \text{e}^{-X}=0

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 15:08

ok merci beaucoup !

pour la question 6 je ne sais pas vers où me diriger

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 15:21

Le texte :

Citation :
l'état stationnaire d'un médicament est atteint dès que la quantité de ce médicament dans le sang s'approche à moins de 1 mg de cette valeur limite  \ell


traduction :
la quantité de ce médicament dans le sang  q=36-\text{e}^{-0,065 t+3,537}

s'approche à moins de 1 mg de cette valeur limite : distance entre \ell et q  inférieure à 1.

Conclusion

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 15:31

q= 36-e^-0,065*4+3,537 = 9,50 ?

je ne suis pas sûr de bien avoir compris

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 15:41

distance entre \ell et q inférieure à 1,
c'est-à-dire \ell-q<1


\underbrace{36-\left(36-\text{e}^{-0,065 t+3,537}\right)}_{\ell-q}<1

À résoudre cette équation en t

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 15:43

j'ai trouvé t>3537/65 54,42

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 15:53

Oui,

Citation :
selon cet ajustement, l'état stationnaire sera atteint en moins de 4 jours.


par conséquent, à convertir en jours

Posté par
vanilla356664
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 16:03

cela fait environ 2 jours

Posté par
hekla
re : statistiques à 2 variables 22-02-23 à 16:10

Combien d'heures par jour ?

  plus de 2, mais moins de 3 jours, donc moins de 4 jours

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