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Structure algébrique
Ouals38
Bonjour, j'ai un dm j'ai déjà fait la la question 1 mais je n'arrive pas à prouver par l'absurde la 2. J'ai essayé de résonné avec la caractérisation de la borne inférieure pour obtenir la première inégalité ce qui a à priori fonctionné mais je n'arrive pas à prouver les 2 autres inégalités.
On cherche dans ce problème à caractériser tous les sous-groupes de (R,+). Soit donc (G,+) un sous- groupe de (R,+), qu'on suppose dans tout le problème différent de {0}.
1. Justifier que G∩R+∗ ̸=, puis que a=inf{x∈G∩R+∗} est bien définie.
2. Dans cette question, et dans cette question seulement, on suppose que a > 0, et on note,
commedecoutume,aZ={an, n∈Z}.OnsouhaiteprouverqueG=aZ.
(a) Montrer que aZ est un sous-groupe de R.
(b) On veut montrer ici que a ∈ G. On suppose par l'absurde a ∉ G, et on pose ε = a/2 . Justifier l'existence de x ∈ G tel que a < x < a + ε puis de y ∈ G tel que a < y < x. Trouver alors un élément z de G tel que 0 < z < a, et conclure.
Bonjour
Pour la deuxième inégalité, c'est la même chose que la première. Comme x est strictement supérieur à a, tu peux écrire avec
Bonjour, j'ai essayé de soustraire les 2 inégalités mais j'aboutissais seulement à
0<x-y<a +£ -x
C'est à dire 0<x+x+-y<(3/2)a
Du coup ce qui est à l'intérieur est stable par la somme et appartient à G mais en divisant par 3/2 cela ne marche plus du coup je ne sais pas comment procéder doit-je essayé de multiplier par un inverse ?
Est-ce que cela fonctionne en soustrayant
On obtient finalement
0<x-y<£-£'
0<2x-2y+2£'<a car £=a/2
Donc comme £'=a+x
On a par stabilité de la somme 0<z<a
On ne sait pas si cette inégalité est vraie :
Il y a plus simple encore :
On a et
En sachant ça, que dire de x-y ?
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