Bonsoir,

pouvez-vous me dire si la rédaction de ce petit exercice sur les structures algébrique est correcte?

Soit E un ensemble muni d'une l.c.i noté multiplicativement . , associative et telle que, pour tout a E l'application
g_a
E  ->  E
x |->  ax

soit injective.

a) Montrer que si u E est idempotent alors

=> Pour ca, pas de probleme.

b) Montrer que si u et v sont deux idempotents de E distincts alors il n'existe aucun couple (x,y) tel que uv = yv

=> Voici ce que je propose:
u idempotent =>
v idempotent =>

Comme uv alors xy
Or g injective donc xy => f(x)f(y)
Donc i.e. il n'existe aucun couple (x,y) E tq ux = vy

c) Montrer que si E admet un neutre e alors E n'admet comme idempotent que e.
Existence: E admet un neutre, eE et
g_e(x) = ex et g_e(ex)=e²x or g_e injective donc   e²=e => i.e. e est idempotent.
Unicité: avec a) et b) on déduit immédiatement que e est unique.

Merci par avance de votre aide.
JFK