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structure d'algebre
salut !
J'ai un problème avec cet exo, un indice s'il vous plais !
on pose {
}
- 1) j'ai montrer que c'est un sous anneau de 
- 2) et que A vérifié . données :
et
-3) Montrer que inversible
.
surement il faut utiliser 2) mais je bloque ! merci
C'est très général comme résultat et très utilse en théorie des nombres!
Remarque que N est toujours un entier et que N(xy)=N(x)N(y)
Bonsoir.
x inversible <=> il existe x' € A tel que xx' = 1
=> N(xx') = N(x).N(x') = N(1) = 1
Or, N(x) et N(x') sont des entiers, donc N(x) = 1 ou N(x) = - 1
et a partir de là il faut déduire que a ne possède que 4 éléments inversibles. qu'il faut préciser.
cela reviens à résoudre quoi ?
+ou-1 mais aussi +ou-i
il y en a bien 4.
car (N(x)=1) implique (a^2+b^2=1) implique (a^2=1 et b^2=0) ou (a^2=0 et b^2=0=1) implique (a=+ou- 1 et b=0) ou (a=0 et b=+ou- 1)
au final x=1 ou x=-1 ou x=i ou x=-i
cela revient à resoudre |N(x)|=1, par contre peut etre n'a tu pas vu que |N(x)|=|x| ou |x| est le module de x vu comme nombre complexe. Tu cherches donc les entiers qui sont le cercle unité de C.
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