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Structure d'espace vectoriel d'un groupe abélien.
Bonjour à tous, 
Hier en me promenant (
) je me suis posé la question suivante:
On se donne un groupe abélien .
Est-ce-qu'on peut à coup sûr trouver un corps tel que
ait une structure de
-espace vectoriel?
Si OUI, existe-t-il un "corps universel" (ie un corps tel que tout groupe abélien soit un -espace vectoriel)?
Sur le coup, je pensais avoir trouvé à la fois une réponse et la démo. Mais en fait non, ma "démo" est complètement bancale.
Pour la 2ème question, la réponse est NON. C'est une histoire de caractéristique...
Mais pour la 1ère, j'arrive pas à trouver de réponses satisfaisantes. 
J'avais initialement pensé à mais il n'est pas si évident de donner un sens à l'expression
Une idée?
5 you.
Ayoub.
Salut,
je crois qu'il faut plus se contenter de anneau, et
, on appelle ça un
-module (on a comme ça un "anneau intègre universel" , c'est déjà pas mal
)
Salut Ayoub,
en général la réponse à ta question est négative, car il existe des modules qui ne sont pas des espaces vectoriels.
Un module est un "espace vectoriel" dont les "scalaires" vivent dans un anneau.
Les propriétés des modules sont plus compliquées que celles des espaces vectoriels (le problème le plus élémentaire étant la résolution de l'équation q.x=0) même si certains "gros" théorèmes subsistent, comme le théorème de classification des groupes de type fini.
Ce qui est vrai en revanche, c'est que tout groupe abélien peut être muni d'une structure de module (
est bien un anneau) en posant pour tout entier naturel n: (-n).x=-(n.x).
Pour essayer de donner quelques arguments plus directs et plus en prise directe avec tes recherches,
a un sens si pour tout entier q non nul, l'application
de G dans G est bijective (surjective pour l'existence de
et injective pour son unicité).
En cardinal fini, l'injectivité suffit donc et qx=qy <=> q(x-y)=0 (car G est abélien).
Or pour tout q multiple de o(G) cette relation est vérifiée même si x est différent de y, donc ne fait pas l'affaire.
Si on pose n=o(G) est premier le corps fait l'affaire en posant pour tout
avec s entier compris entre 0 et n-1 représentant de r.(Cette définition a bien un sens puisque n.x=0 pour tout x.)
En cardinal infini, il suffit de choisir pour se convaincre que l'application x->qx n'est en général (sauf si |q|=1) pas injective.
Tigweg
Salut romu,
Oui, je sais très bien que tout groupe abélien possède une unique structure de -module. Mais ce n'est pas vraiment ce que je demandais.
Merci quand même.
Ayoub.
Salut Greg,
il existe des modules qui ne sont pas des espaces vectoriels
Exemple(s)?
Pour le reste, oui ce sont des réflexions que je m'était déjà faite sur le sujet pour me convaincre que la réponse était non. Mais j'ai pas trouvé beaucoup de contre exemples...
Ayoub.
Ah mais oui, mais qu'est ce que je suis bête. 
Merci Greg et romu.
En fait, j'étais cantonné sur les groupes abéliens finis, c'est pour ça que j'ai pas trouvé de contre-exemple.
5 you.
Rebonjour
En fait pour un groupe abélien fini, la réponse est immédiate:
S'il est isomorphe (en tant que groupe additif) à (Z/pZ)n pour p premier, il est naturellement muni d'une structure de Fp espace vectoriel. Si ce n'est pas le cas, rien à faire...
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