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suite 1

Posté par
leilaserad
04-10-21 à 19:57

Bonjour :
J'ai un devoir maison à faire est ce que vous pourriez m'aidez s'il vous plait :

Voici l'exercice 1 : On s'intéresse à l'évolution de la population de tigres dans une réserve naturelle. En 2019, il y a 100 tigres. Puis chaque année, 10% de la population de tigres meurt et il y a 5 nouveaux tigres qui sont ajoutés à la réserve. On note un le nombre de tigres en 2019 + n

1. Déterminer le nombre de tigres, dans la réserve en 2020

2. Donnez la valeur de u0 et justifiez pour tout n un+1= 0,9un+5

3. a) Montrez par récurrence n , 50 un+1un

b) En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite .

4. Soit la suite vn définie par vn= un-50
a) Montrez que la suite (vn) est géométrique de raison 0,9
b) Déterminer l'expression vn en fonction de n , puis celle de un en fonction de n
c) En déduire la limite de la suite (un)

5. On souhaite déterminer le nombre d'abonnées à partir duquel le nombre de tigres est inférieur à 60.

a) Recopier et compléter le programme Python pour qu'il réponde au problème

1 u=100
2 n=0
3 while
4             u=
5             n=
6 print (.....)

b) Quelle est la valeur numérique contenue par la variable n à la fin de l'exécution de ce programme Et donner une interprétation du résultat obtenu

Voila
Merci d'avance

Posté par
hekla
re : suite 1 04-10-21 à 20:05

Bonsoir

Que proposez-vous ? Quels sont vos problèmes ?

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 09:40

Bonjour :

Pour les question 1) , 2), 4)a), 4b) et 4c) je pense que ce que j'ai mis est juste est ce que vous pourriez juste me confirmer si c'est juste et les questions 3a), 3b) 5a), 5b) je n'arrive pas à les faire

voila

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 09:47

pour la questions 1) j'ai mis : Nombre N de tigres dans la réserve en 2020 : N = 0, 9 × 100 + 5 = 95

pour la question 2) j'ai mis u0 = 100, comme 10 % de tigres meurent d'une années à l'autre, il en reste 90 %
auquel on rajoute 5, ce qui donne pour tout n ∈ N, un+1 = 0, 9un + 5

pour la question 4a) ∀n ∈ N, vn+1 = un+1 − 50 = 0, 9un + 5 − 50 = 0, 9un − 45 = 0, 9(un − 50) = 0, 9vn
La suite (vn) est géométrique de raison q = 0, 9 et de 1er terme v0 = u0 − 50 = 50.

pour la question 4b) : vn = v0 qn = 50(0, 9)n donc un = 50(0, 9)n + 50

pour la question 4c) : lim n→+∞ 0, 9
n = 0 car −1 < 0, 9 < 1, par produit et somme lim n→+∞
un = 50

voila

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 10:12

Bonjour

Vous n'avez pas mis ce que vous avez effectué  donc pas d'avis possible

Je ne vois pas pourquoi un raisonnement par récurrence

 u_{n+1}-u_n=-0,1u_n+5

-0,1 u_n +5\leqslant 0 \Rightarrow u_n\geqslant 50

b) on a une suite décroissante  minorée par 50 donc elle converge

5  Je ne connais pas Python donc son écriture

while  u \geqslant 60

u=0,9u+5
n=n+1

print n

faites tourner cet algorithme


le nombre d'années qu'il faudra

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 13:08

si j'ai mis ce que j'ai mis comme réponse a 9h 47 vous ne voyez pas ?

pour la questions 1) j'ai mis : Nombre N de tigres dans la réserve en 2020 : N = 0, 9 × 100 + 5 = 95

pour la question 2) j'ai mis u0 = 100, comme 10 % de tigres meurent d'une années à l'autre, il en reste 90 %
auquel on rajoute 5, ce qui donne pour tout n ∈ N, un+1 = 0, 9un + 5

pour la question 4a) ∀n ∈ N, vn+1 = un+1 − 50 = 0, 9un + 5 − 50 = 0, 9un − 45 = 0, 9(un − 50) = 0, 9vn
La suite (vn) est géométrique de raison q = 0, 9 et de 1er terme v0 = u0 − 50 = 50.

pour la question 4b) : vn = v0 qn = 50(0, 9)n donc un = 50(0, 9)n + 50

pour la question 4c) : lim n→+∞ 0, 9
n = 0 car −1 < 0, 9 < 1, par produit et somme lim n→+∞
un = 50

voila ce que j'ai mis aux questions

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 13:12

1 u=100
2 n=0
3 while u<60
4             u=0,9u +5
5             n=n+1
6 print (n)

sa donne ça pour l'algorithme  ducout ? et je ne sais pas faire tourner l'algorithme

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 13:53

J'étais en train de vous répondre donc je n'avais pas vu vos réponses
Attention à l'écriture  il faut respecter les indices et les exposants

question 1  il faudrait justifier le 0,9
par exemple à une baisse de 10% correspond un coefficient multiplicateur de 0,9
Question 2 oui
4a oui,  car on fait l'interprétation v_n=50\times (0,9)^n et  u_n=50\times (0,9)^n+50


4c) \lim_{n\to +\infty} u_n=50 On pose donc 2 fois la question  !

(v_n) étant une suite géométrique de raison positive plus petite que 1 donc v_n tend vers 0 et u_n vers 50

5 Non, u doit être supérieur à 60 pour que cela puisse s'arrêter
en le mettant inférieur à 60 l'algorithme ne tourne pas puisque vous commencez à 100 donc bien supérieur à 60

même sur une calculatrice ?

exemple sur une TI
suite 1 suite 1

Posté par
malou Webmaster
re : suite 1 05-10-21 à 14:04

Bonjour hekla

Citation :

Je ne vois pas pourquoi un raisonnement par récurrence

 u_{n+1}-u_n=-0,1u_n+5

-0,1 u_n +5\leqslant 0 \Rightarrow u_n\geqslant 50

là on n'a rien démontré...elle serait décroissante si les termes sont supérieurs à 50, ce qui n'a pas été démontré

ben je pense qu'on peut faire ça en deux coups
1) je montre par récurrence que tous les un sont supérieurs à 50
2) j'en déduis que la suite est décroissante
non ?

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 14:18

Bonjour malou

La réponse que j'ai donnée ne me satisfaisait pas

par récurrence u_0=100\geqslant 50 donc propriété vraie

il existe un k tel que u_k\geqslant 50

 u_{k+1}= 0,9 u_k+5

on applique la propriété de récurrence  

on obtient bien u_{k+1}\geqslant 50

Pour tout n\  u_n\geqslant 50

Là, c'est mieux

Posté par
malou Webmaster
re : suite 1 05-10-21 à 14:31

oui, là, c'est OK
et ensuite tu démontres qu'elle est décroissante facilement

on peut faire ça en un coup (la double inégalité par récurrence), mais c'est plus lisible en deux coups sans doute

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 19:26

Bonsoir
désoler de répondre que maintenant j'avais cour
1 u=100
2 n=0
3 while u>60
4             u=0,9u +5
5             n=n+1
6 print (n)

ca donne ca pour l'algorithme ?

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 19:44

J'avais vu sur votre autre message  que vous aviez cours jusqu'à 17 h

  Peut-être  je ne connais pas le langage python  normalement cela doit tourner

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 20:04

oui mais le temps de rentrer ca a pris du temps
et d'accord merci donc pour la question b) Quelle est la valeur numérique contenue par la variable n à la fin de l'exécution de ce programme Et donner une interprétation du résultat obtenu
vous ne pouvez pas m'aidez ?

et pour la question 3a)

initialisation :
n=0 u0=100 u0>50

Hérédité : Supposons que jusqu'à un entier k , uk50 et montrons que uk+1= 0,9uk+5

je ne comprend pas comment continuer et est ce que ca c'est juste ?

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 20:48

Je vous avais mis le programme fait sur une TI et à côté son résultat

Il donnait pour n 16  C'est le nombre d'années qu'il faudra pour que le nombre de tigres soit inférieur à 60 C'est bien une interprétation dans le cadre de l'exercice du résultat de l'algorithme

Question 3 a)
première partie  montrons que pour tout n,\  u\ _n\geqslant 50

 u_0=100 or 100\gegslant50 la propriété est vraie pour n=0

Considérons un k tel que la propriété u_k\geqslant 50 et on montre qu'elle est vraie pour k+1

 u_{k}\geqslant 50

en multipliant les deux membres de l'inégalité par 0,9 nombre positif  on a

0,9u_k\geqslant 0,9\times 50

on ajoute 5 aux deux membres 0,9u_k+5\geqslant 0,9\times 50+5

0,9u_k+5 est u_{k+1} et 0,9\times 50+5=45+5=50 Par conséquent la propriété est vraie pour k+1

on a montré que la propriété est vraie pour 0 et que si elle est vraie pour k elle est vraie pour k+1 par conséquent elle est vraie pour tout

pour tout n\in \N, \  u_n\geqslant 50

Posté par
malou Webmaster
re : suite 1 05-10-21 à 20:51

bonsoir
je conseille à leilaserad de s'entraîner avec cette fiche Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 20:54

suite  montrons que u_{n+1}\leqslant u_n

Pour ce faire étudions le signe de la différence

u_{n+1}-u_n=0,9u_n+5-un=-0,1u_n+5

D'après la partie précédente  u_n \geqslant 50

0,1 u_n\geqslant 5 \quad -0,1 u_n\leqslant -5 \qquad  -0,1 u_n+5\leqslant -5+5

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 20:55

ah d'accord merci beaucoup
pour la question 3b)
En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite .

je dois mettre que la suite est décroissante et minorée par 50 donc on peut dire qu'elle est convergente c'est ça et pour déterminer sa limite comment faire ?

Posté par
carita
re : suite 1 05-10-21 à 20:58

bonsoir à tous
juste un petit message : pour python, normalement si la syntaxe est respectée, ça doit aller.
si problème, j'y jetterai un oeil.
je m'éclipse.

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 21:01

Oui, décroissante minorée  donc la suite converge
on peut penser que la limite sera 50, mais rien ne le confirme,  c'est l'objet de la question 4 où on prouve bien que la limite est 50

Posté par
leilaserad
re : suite 1 05-10-21 à 21:03

ah d'accord et ducout je met que c'est 50

d'accord merci beaucoup je pense que c'est bon pour cet exercice la je vais tout recopier après et si j'ai encore des questions je reviendrai vers vous

Posté par
hekla
re : suite 1 05-10-21 à 21:13

Du coup :    c'est une frappe donnée  pas une dépense

sans problème

Posté par
leilaserad
re : suite 1 08-10-21 à 19:00

bonsoir :
J'ai récris juste pour la question 3a) et 3b) est ce que vous pouvez regarder si c'est bien ça pour la récurrence .

3a)
Initialisation :
n=0 u0= 100 or 10050 (je ne sais pas d'où ca vient) dont la propriété est vrai pour n=0

Hérédité :
Supposons que jusqu'a un entier k , uk 50 et montrons que uk+150


uk50
0,9uk0,9*50
0,9 uk+50,9*50+5

La propriété est vraie pour k+1

conclusion la propriété est vraie pour k elle est est vraie pour k+1 par conséquent elle est vraie pour tout n, un50

Posté par
leilaserad
re : suite 1 08-10-21 à 19:03

hekla @ 05-10-2021 à 20:54

suite  montrons que u_{n+1}\leqslant u_n

Pour ce faire étudions le signe de la différence

u_{n+1}-u_n=0,9u_n+5-un=-0,1u_n+5

D'après la partie précédente  u_n \geqslant 50

0,1 u_n\geqslant 5 \quad -0,1 u_n\leqslant -5 \qquad  -0,1 u_n+5\leqslant -5+5



ca fait partie de la question 3a) ? je ne comprend pourquoi montrer que un+1smb]infegal[/smb]un

Posté par
hekla
re : suite 1 08-10-21 à 19:07

Bonsoir

Parce que c'était demandé

Citation :
a) Montrez par récurrence  \forall n,\  50 \leqslant u_{n+1}\leqslant u_n

Posté par
leilaserad
re : suite 1 08-10-21 à 19:14

leilaserad @ 08-10-2021 à 19:00

bonsoir :
J'ai récris juste pour la question 3a) et 3b) est ce que vous pouvez regarder si c'est bien ça pour la récurrence .

3a)
Initialisation :
n=0 u0= 100 or 10050 (je ne sais pas d'où ca vient) dont la propriété est vrai pour n=0

Hérédité :
Supposons que jusqu'a un entier k , uk 50 et montrons que uk+150


uk50
0,9uk0,9*50
0,9 uk+50,9*50+5

La propriété est vraie pour k+1

conclusion la propriété est vraie pour k elle est est vraie pour k+1 par conséquent elle est vraie pour tout n, un50


donc tout ca est juste ?? Et il faut le mettre après ça ?

Posté par
hekla
re : suite 1 08-10-21 à 19:46

Vous voulez montrer par récurrence que u_n \geqslant 50

pour l'initialisation on prend n=0

u_0=100  on peut bien affirmer que 100 \geqslant 50

donc que la propriété est vraie pour 0

On n'a pas besoin de tous les k

Considérons un  k tel que u_k\geqslant 50


0,9u_k\geqslant 0,9 \times 50

0,9u_k+5\geqslant 0,9\times 50+5

u_{k+1}\geqslant 50

La propriété est vraie pour k+1

conclusion la propriété est vraie pour k elle est vraie pour k+1 par conséquent elle est vraie pour tout n\in N,\  u_n\geqslant 50


Montrons maintenant que pour tout n\  u_{n+1}\leqslant u_n
 \\

Posté par
leilaserad
re : suite 1 08-10-21 à 19:53

d'accord merci

Posté par
hekla
re : suite 1 08-10-21 à 20:15

De rien
s'il y a encore des questions, n'hésitez pas

Posté par
leilaserad
re : suite 1 08-10-21 à 20:28

mercii



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