il y a des question intermédiaire?enfin, tu as démontrer quoi avant cette question?

bonjour

tu dois passer par une/des suite(s) intermédiaire(s) (SA ou SG) dont tu auras la limite dans les questions précédentes
.

tout à fait d'accord avec mous33
.

a(n+1) = 37 - 36/a(n) avec a(1) = 2

Supposons a(n) <= 36 pour une certaine valeur de n.
On a alors:
a(n) <= 36
1/a(n) >= 1/36
36/a(n) >= 1
-36/a(n) <= -1
37 -36/a(n) <= 37-1
37 -36/a(n) <= 36
a(n+1) <= 36

Donc si a(n) <= 36, on a aussi a(n+1) <= 36

a(1) = 2 --> a(n) <= 36 pour n = 1

Des 2 lignes précédentes on conclut que a(n) <= 36 pour tout n de N*
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Supposons a(n) >= 1 pour une certaine valeur de n.

1/a(n) <= 1
36/a(n) <= 36
-36/a(n) >= 36
37-36/a(n) >= 37-36
37-36/a(n) >= 1
a(n+1) >= 1

Donc si a(n) >= 1, on a aussi a(n+1) >= 1

a(1) = 2 --> a(n) >= 36 pour n = 1

Des 2 lignes précédentes on conclut que a(n) >= 1 pour tout n de N*

---
a(n+1) - a(n) = 37 - 36/a(n) - a(n)
a(n+1) - a(n) = 37.a(n) - 36 - (a(n))²
a(n+1) - a(n) = - [(a(n))² - 37.a(n) + 36]
a(n+1) - a(n) = - (a(n) + 1).(a(n) - 36)

(a(n) - 36) < 0 puisque a(n) <= 36 pour tour n de N*
(a(n) + 1) > 0 puisque a(n) >= 1 pour tout n de N*

Donc a(n+1) - a(n) < 0 pour tout n de N*
La suite an est donc décroissante.
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La suite an est décroissante et minorée donc elle converge.

On a donc lim(n-> +oo) a(n) = lim(n-> +oo) a(n+1) = L

a(n+1) = 37 - 36/a(n)

lim(n-> +oo) [a(n+1)] = lim(n-> +oo) [37 - 36/a(n)]

L = 37 - 36/L
L² = 37L - 36
L² - 37L + 36 = 0
(L-1)(L-36) = 0
Et comme on sait que la suite est croissante, L > a(1), L > 2 -->
L = 36

La suite converge vers 36.
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Sauf distraction.  

merci J-P, superbe démonstration!

effectivement belle démonstration mais je doute qu'un eleve de termin ale trouve ca tout seul...a mon avis l'exercice était guidé et il y avait des questions intermédiaire...

Il y a quelques années (ou plutôt quelques décennies), on faisait cela bien avant la Terminale et sans les sous-questions qu'on donne généralement actuellement qui vous guident de manière évidente vers la solution "sans se casser" je dirais.

Mais le résultat est bien concret, le niveau en math actuel est catastrophiquement mauvais en fin de Terminale.

personnelement , je donne des cours a des élèves de terminales et il est vrai que la difficulté des exercices a diminué!et je confirme aussi que dans tous les exercices de terminal, on est énormément guidé pour aboutir au bon résultat!aussi, on leur demande souvent de démontrer quelque chose ce qui permet d'avancer énormément dans un probleme tout en ayant sauté pas mal de question!

bonne journée!