Bonjour fab30,

Pour n=0,
5²=25
4²+3²=25
Donc la propriété est vrai au rang 0.

Supposons la propriété vrai au rang n.
Au rang n+1 :
5ⁿ⁺³=5.5ⁿ⁺²
5.(4ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²)
5.4ⁿ⁺²+5.3ⁿ⁺²)
Or 5.3ⁿ⁺²)3ⁿ⁺³
car 5 > 3
et
5.4ⁿ⁺²)4ⁿ⁺³
car 5 > 4

Donc la propriété est vraie au rang n+1.

On a donc démontré la propriété pour tout entier naturel.

@+

salut fab30.
tu commences par l amorce qui est évidente car si n=0 alors 5^2 est bien inférieur ou égal à 4^2+3^2 qui vaut 25.la propriété est donc vraie au rang 0.
pour l hérédité:
soit p un entier naturel vérifiant la propriété que tu as écrite.
puis:5^(p+3)=5*5^(p+2) qui, d apres l hypothese de recurrence est superieur ou égal a (en multipliant le tout par 5): 5*4^(p+2)+5*3^(p+2).
or il est clair que, comme 5 est plus grand que 4 et 3 on a la propriété vérifiée au rang p+2.écrit ceci mathématiquement(je n arrive pas trop a le faire a l ordi désolé) et tu verras ce n est pas trop compliqué.
bon courage
vincent.