U(n+1) = (1/2).(Un+(9/Un)) = (1/2).((Un)²+9)/Un

f(x) = (1/2).(x²+9)/x
f '(x) = (1/2).(2x²-x²-9)/x²
f '(x) = (1/2).(x²-9)/x²
f '(x) = (1/2).(x-3)(x+3)/x²

On a donc f '(x) >= 0 pour x >= 3 et f(x) est croissante.
f(3) = (1/2).(9+9)/3 = 3
Et donc f(x) >= 3 si x >= 3

En posant x = Un, il vient:
f(Un) >= 3 si Un >= 3
(1/2).((Un)²+9)/Un >= 3 si Un >= 3
U(n+1) >= 3 si Un >= 3   (1)

On a U(0) = 4 et donc U(0) >= 3 -> par (1), on a alors U(1) >= 3
Comme U(1) >= 3, on a par (1) que U(2) >= 3
Comme U(2) >= 3, on a par (1) que U(3) >= 3
Et ainsi de proche en proche, on a que U(n) >= 3 pour tout n de N.

-> Un est minorée par 3.
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U(n-1) - U(n) = (1/2).((Un)²+9)/Un - Un

U(n-1) - U(n) = (1/2).((Un)²+9-(2Un)²)/Un
U(n-1) - U(n) = (1/2).(9-(Un)²)/Un

Et comme Un >= 3, on a: U(n-1) - U(n) <= 0
U(n+1) <= U(n)
Et donc la suite Un est décroissante.
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Pas demandé:

Une suite qui est minorée et décroissante est convergente -> la suite Un est convergente vers une valeur L.

L = lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) Un

lim(n->oo) U(n+1) = lim(n->oo) Un
lim(n->oo) (1/2).((Un)²+9)/Un = lim(n->oo) Un

(1/2).(L²+9)/L = L
L²+9 = 2L²
L² = 9
L = 3

La suite Un converge donc vers 3.
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Sauf distraction.