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suite
On considère la suite numérique (Un) définie par : U0=a, et pour tout entier n,
n+1=Un(2-Un) ou a est un réel donné tel que 0 <a<1
1) On suppose dans cette question que a = 1/8
calculer U et U2
2) on suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l'intervalle ]0 ;1[
a) montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<Un<1
b) montrer que la suite (Un) est croissante
c) que peut on en déduire
3) on suppose à nouveau dans cette question que a=1/8
on considère la suite numérique (Vn) définie sur N par Vn = 1-Un
a) exprimer pour tout n, Vn+1 en fonction de Vn
b) en déduire l'expression de Vn en fonction de n
c) déterminer la limite de la suite (Vn), ouis celle de la suite (Vn).
Je suppose que c'est U(n+1) = U(n).(2-U(n))
1)
U(0) = 1/8
U(1) = (1/8).(2-(1/8)) = 15/64
U(2) = (15/64).(2-(15/64))=1695/4096
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2)
a)
Supposons 0 < Un < 1
U(n) > 0
Un < 1 -> 2-Un > 0
et donc Un.(2-Un) est le produit de 2 termes > 0 -> Un.(2-Un) > 0, soit U(n+1) > 0
Donc si 0< Un < 1, on a aussi 0 < U(n+1) (1)
f(x) = x(2-x) = 2x - x² avec x dans ]0 ; 1[
f '(x) = 2 - 2x = 2(1-x)
f'(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1[ -> f(x) est croissante.
f(x) est donc minorée par lim(x-> 1-) f(x) = 1.
f(x) < 1 sur ]0 ; 1[
->
f(Un) = Un(2-Un) < 1 pour Un dans ]0 ; 1[
U(n+1) < 1 si Un dans ]0 ; 1[ (2)
(1) et (2) ->
Si 0< Un < 1, on a aussi 0 < U(n+1) < 1
Comme 0< Un < 1 pour n = 0 (par hypothèse), on a aussi 0< Un < 1 pour n = 1
Comme 0< Un < 1 pour n = 1 , on a aussi 0< Un < 1 pour n = 2
Comme 0< Un < 1 pour n = 2 , on a aussi 0< Un < 1 pour n = 3
Et ainsi de proche en proche, on a 0< Un < 1 pour tout n de N.
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b)
U(n+1) / U(n) = 2-U(n)
et comme 0 < Un < 1, on a : U(n+1) / U(n) > 1
U(n+1) > U(n) -> la suite Un est croissante.
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c)
La suite Un est croissante et majorée (par 1) -> la suite Un converge.
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3)
a)
V(n) = 1 - U(n)
V(n+1) = 1 - U(n+1)
V(n+1) = 1 - U(n).(2-U(n))
V(n+1) = (U(n))² - 2U(n) + 1
V(n+1) = (1 - U(n))²
V(n+1) = (V(n))²
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b)
V(0) = 1-U(0) = 1 - (1/8) = 7/8
V(n) = (7/8)^(2^n)
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c)
lim(n->oo) V(n) = 0
lim(n->oo) U(n) = 1 - lim(n->oo) V(n) = 1 - 0 = 1
lim(n->oo) U(n) = 1
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Sauf distraction. 
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