Exercice 1.

U(n+1) = U(n)*q

Supposons que  U(n) = U(0).q^n
On a alors U(n+1) = U(n)*q
U(n+1) = U(0).q^(n+1)

Donc si  U(n) = U(0).q^n est vrai, on a aussi U(n+1) = U(0).q^(n+1)

Comme U(n) = U(0).q^n est vrai pour n = 0, c'est encore vrai pour n = 1.
Comme U(n) = U(0).q^n est vrai pour n = 1, c'est encore vrai pour n = 2.
... Et ainsi de proche en proche, on a  U(n) = U(0).q^n pour tout n de N
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On suppose U(0) différent de 0 (sinon la suite est stationnaire et tous ses termes sont = 0)

Pour que Un converge, il faut que q < 1
On a alors lim(n->oo) U(n) = U(0).lim(n->oo) q^n = 0, Un converge vers 0

Remarque si q = 1, la suite est stationnaire.
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Exercice 2)
Avec S(n) = U(0) + U(1) + U(2) + ... + U(n)
Supposons que S(n) = U(0).((q^(n+1)) -1)/(q-1)   (1)  soit vraie,
On a alors S(n+1) = U(0).((q^(n+1)) -1)/(q-1) + U(n+1)
Or U(n+1) = U(0).q^(n+1)
->  S(n+1) = U(0).((q^(n+1)) -1)/(q-1)  + U(0).q^(n+1)
S(n+1) = U(0).[((q^(n+1)) -1)/(q-1) + q^(n+1)]
S(n+1) = U(0).[((q^(n+1)) -1)+ q^(n+2)-q^(n+1)]/(q-1)
S(n+1) = U(0).[((q^(n+2)) -1)]/(q-1) qui est l'expression (1) où on a remplacer n par (n+1)

Donc si S(n) = U(0).((q^(n+1)) -1)/(q-1) est vraie pour une certaine valeur de n, elle est encore vraie pour n+1.(2)

Si n = 0
S(0) = U(0).((q^(0+1)) -1)/(q-1)
S(0) = U(0).(q -1)/(q-1)
S(0) = U(0)

Donc S(n) = U(0).((q^(n+1)) -1)/(q-1) est vraie pour n = 0, par (2), elle est aussi vraie pour n = 1.
Comme S(n) = U(0).((q^(n+1)) -1)/(q-1) est vraie pour n = 1, par (2), elle est aussi vraie pour n = 2.
... Et ainsi de proche en proche, on a  S(n) = U(0).((q^(n+1)) -1)/(q-1) est vraie pour tout n de N
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Sauf distraction.