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Posté par Jérémy (invité) 25-02-05 à 19:38

Bonjour
Pouvez vous m'aider svp pour cet exercice.
Merci d'avance .

$(U_{n})$ est la suite définie par :
$U_{0} = 1$ et $U_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{{n \choose k} }$ lorsque n > 0

1. On suppose $n \geq 3$
a. Démontrez que $U_{n} = 2 + \frac{2}{n} + \sum\limits_{k=2}^{n-2}\frac{1}{{n \choose k} }$
b. Prouvez que pour tout $k$ tel que $2\leq k \leq n-2$ :
${n \choose k} \geq \frac{n(n-1)}{2}$

2. Déduisez du 1. un encadrement de la suite $(U_{n})$ et, à l'aide de cet encadrement, démontrez que la suite $(U_{n})$ a pour limite 2.

Posté par re : Suite 25-02-05 à 20:16

(a) Il faut remarquer que les indices de la somme ont changé. Celà veut dire que certains termes ont été enlevés de la somme.
$\Large U_n=\bigsum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n\choose k}}=\underb{\frac{1}{{n\choose 0}}}_{k=0}+\underb{\frac{1}{{n\choose 1}}}_{k=1}+$\bigsum_{k=2}^{n-2}\frac{1}{{n\choose k}}$+\underb{\frac{1}{{n\choose n-1}}}_{k=n-1}+\underb{\frac{1}{{n\choose n}}}_{k=n}$

(b) Il faut utiliser le fait que $2\leq k\leq n-2$ pour séparer certains termes.
${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\frac{(n-2)!}{3\cdot\ldots\cdot k(n-k)!}$

Je te laisse essayer la suite.

Isis

Posté par minotaure (invité)re : Suite 25-02-05 à 20:25

salut.
1a) du signe somme il faut separer k=0,k=1 k=n-1 et k=n
tu auras le resultat en regroupant.

1b raisonnement par recurrence sur k.
pour k=2 ok
soit k dans [[2,n-1]] tel qu'on ait le resultat

(n k+1)=n!/[(n-k-1)!(k-1)!]=[n!/(n-k)!k!]*k*(n-k)
donc ( n k+1)=(n k)*k*(n-k)>=k*(n-k)n*(n-1)/2

k>=2>1
et n-k>1 car k=<n-2
donc (n k+1)>=n*(n-1)/2
vrai au rang k+1 donc vrai pour tout k dans [[2,n-2]]

2.donc (1/(n k))=<2/[n*(n-1)]
donc U(n)=<2+2/n + sigma[2,n-2] 2/[n*(n-1)]
dans la somme on va de 2 a n-2 inclus donc il y a n-1 termes
U(n)=<2+2/n+2*(n-1)/[n*(n-1)]
donc U(n)=<2+2/n+2/n=2+4/n
or U(n)>=2 (c'est evident regarde comment est marque U(n) en b)
donc 2=<U(n)=<2+4/n
theoreme des 2 gendarmes => lim U(n)=2 car (4/n)->0 quand n->+oo.
n

a+

Posté par Jérémy (invité)suite 25-02-05 à 20:55

Merci pour votre aide.
Malgré vos indications et mon calcul je n'arrive pas à retomber sur le résultat.
Pouvez vous encore m'aider un peu.
Merci.

Posté par re : Suite 25-02-05 à 21:26

(a) Il suffit de calculer les termes:
${n\choose0}={n\choose n}=\frac{n!}{0!n!}=1$
${n\choose1}={n\choose n-1}}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=n$

(b) Il suffit de remarquer que
$\frac{(n-2)!}{3\cdot\ldots\cdot%20k(n-k)!}>0$

Isis

Posté par Jérémy (invité)re : Suite 26-02-05 à 11:05

D'accord
Encore merci pour votre aide.

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