Bonjour

j'ai un exercice trop dur à faire. C'est pour cela que je fais appel à vous.

Pour tout entier naturel n non nul, on définit les fonctions fn et gn Sur [0,+[ par

fn(x) = (1+ x/1! + x²/2! + x^3/3!+ ...+ x^n/n!) * exp(-x)

et gn(x)= fn(x) + x/n!

Soit (Un) la suite définie par Un= 1 + (1+ 1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ ...+ 1/n!)
pour tout entier naturel n non nul

Partie A

1) Calculer fn(0) et exprimer fn(1) en fonction de Un

ça j'ai réussi mais je bloque dès la question 2


2) Etudier les variation de fn et en déduire que pour tout x0,
exp(x) 1+ x/1! + x²/2! + x^3/3! + ...+  x^n/n!

3) Soit p un entier naturel non nul déduire de ce qui précède la limite en +de
exp(x)/x^p

PARTIE B

1) démontrer que (Un,) est majorée par e

2) soit n *
Etudier les variations de gn sur [0,1]
et en déduire que e-e/n! Un

3)
a) démontrer que (Un) converge et préciser sa limite

b) Quel est le sens de variation de (Un) ?

PARTIE C

Soit (Vn) la suite définie par Vn = Un + 1/(n*n!) pr tt entier naturel n strictement positif.

1) démontrer que (Vn) est décroissante et en déduire que (Vn) est minorée par e

2) on suppose que e est rationnel

il existe donc deux entiers naturels non nuls p et q premiers entre eux tels que e= p/q

a) justifier que uq inférieur à e inférieur à vq

b) en déduire que l'entier N = p*q! - q*q!* uq vérifie 0 inférieur à N inférieur à 1
et conclure



Merci à ceux qui m'apporteront leur aide !