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suite
On considere la suite (Un) def par Uo=-1 et pour tt n apparetent a N:
Un+1 = (3 + 2 Un)/(2 + Un)
1.calculer les 4 premiers terme de la suite.
2.démontrer que Un est un nombre positif pout tout entier n non nul, en deduire que Un est define quelque soit l entier n.
3.Demontrer que Un[t] est majoré par racine de (3)
4.determiné le sens d evariation de Un
5. On considere Vn = ( Un - racine(3) ) / ( Un + racine de (3) )
a.Montrer que Vn est geometrique et donner le premier terme et sa raison.
b.Calculer la limite de Vn .
donc j aimerai que vous me donnie ret expliquer les questions que g pas faite:
donc :
1.fait
2.pas fait.
3.pa fait.
4.g fait ( en passan pa la derivation)
5.a.pas fait
b.fait.
merci de repondre des ke possible by
bonjour
reprenons
on passe a 2.
raisonnement par recurrence.
vrai pour n=1.
soit n>=1 tel que U(n)>=0
d'apres la forumule U(n+1)=...
on a directement U(n+1)>=0
donc pour tout n>=1 U(n)>=0
on a U(0)=-1
et pour tout n>=1 U(n)>=0
donc pour tout n dans N U(n) different de -2
donc U(n)+2 n'est jamais nul.donc la suite U est bien definie.
3) que veut dire Un[t] ?
si c'est montrer que U majore par V3
raisonnement par recurrence sur n.
n=0 ok
soit n>=0 tel que U(n)=<V3
on regarde n+1.
pour cela on introduit la fonction f definie sur [-1,V3] par f(x)=(3+2x)/(2+x)
on l'etudie et par tableau de variations on voit que pour x dans [-1,V3] on a f(x)=<V3
donc pour U(n) dans [-1,V3] U(n+1)=f(U(n))=<V3
donc ok pour n+1
donc pour tout n dans N U(n) majoree par V3.
4)tu l'as fait mais c'est pas bon.les derivations c'est bon pour les fonctions pas pour les suites.
il faut faire U(n+1)-U(n)
soit n dans N.
U(n+1)-U(n)=[(3+2*U(n))-U(n)*(U(n)+2)]/(U(n)+2)
U(n+1)-U(n)=[3-U(n)²]/(U(n)+2)
U(n)+2>=0
et d'apres question precedente 0=<U(n)=<V3
donc 3-U(n)²>=0
donc U(n+1)-U(n)>=0 pour tout n dans N donc la suite U est croissante.
5a) il faut faire V(n+1)/V(n).
(on pourra peut etre verifie que V(n) different de 0 avant)
V(n+1)=[U(n+1)-V3]/[U(n+1)+V3]
V(n)=[U(n)-V3]/[U(n)+V3]
V(n+1)=[(3+2U(n))/(2+U(n)) - V3]/[(3+2U(n))/(2+U(n)) + V3]
or (3+2U(n))/(2+U(n)) - V3 = [3-2V3 +(2-V3)U(n)]/(2+U(n))
(3+2U(n))/(2+U(n)) + V3 = [3+2V3 +(2+V3)U(n)]/(2+U(n))
donc V(n+1)=[3-2V3 +(2-V3)U(n)]/[3+2V3 +(2+V3)U(n)]
or 3-2V3=-V3*(2-V3) ET 3+2V3=V3*(V3+2)
donc V(n+1)=(2-V3)*[U(n)-V3]/ {[V3+2]*[U(n)+V3]}=[(2-V3)/(2+V3)]*V(n)
donc V(n+1)/V(n)=(2-V3)/(2+V3)
donc la suite V est goemetrique de raison (2-V3)/(2+V3)
V(0)=(-1-V3)/(V3 - 1)
la raison etant comprise entre 0 et 1 la limite de la suite V est donc 0.
2)il faut utiliser une demonstration par recurrence
en effet on a U1 positif on suppose Un possitif et on montre Un+1 positif
3)on pourrait demontre r par recurrence :Un -rac3est tj negatif
5)il suffit de montrer que Vn+1 =Vn *q
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