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Posté par eiram (invité) 20-03-05 à 18:05

Bonjour,

je n'arrive pas à montrer que Sn= -2/(e(i/n)-1)
Sachant que nN* , z=e(i/n) et
Sn = 1+z+z²+z^n-1
Merci d'avance pour le coup de main

Posté par re : suite 20-03-05 à 18:23

Bonsoir eiram,

Sn est la somme des n-1 premier terme de la suite géométrique de raison z et de premier terme 1.

$4$\rm\Bigsum_{k=0}^{k=n-1} z^k=\frac{1-z^{n-1+1}}{1-z}$

soit $4$\rm S_n=\frac{1-e^{\frac{i\pi}{n}\times n}}{1-e^{\frac{i\pi}{n}}}=\frac{1+1}{1-e^{\frac{i\pi}{n}}}$ car $3$\rm e^{\frac{i\pi}{n}\times n}=e^{i\pi}=-1$

d'où $5$\rm\blue\fbox{S_n=\frac{-2}{e^{\frac{i\pi}{n}}-1}}$

Salut

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