salut
à mon avis (et comme souvent dans les suites) il faut tenter une démonstration par récurrence
bonne chance

salut
il y a une autre solution mais il faut faire attention.
on remarque que Sn=Im[ e^(iPI/n)+e^(2iPi/n)+...+ e^(iPi*(n-1)/n) ]

soit n dans N
T(n)=e^(iPI/n)+e^(2iPi/n)+...+ e^(iPi*(n-1)/n)
on defini la suite (U(k)) k dans N par :

U(k+1)=e^(iPi/n)*U(k)
et U(0)=e^(iPi/n)

la suite U est une suite geometrique car pour n FIXE U(k+1)/U(k) est independant de k.

U est la suite geometrique de raison e^(iPi/n) et de premier terme e^(iPI/n)

la raison n'est jamais egale a 1.

on peut donc dire que T(n) qui est la somme des n-1 premiers termes de cette suite U :
T(n)=U(0)*[e^(i*(n-1)*Pi/n)-1]/[e^(iPi/n)-1]

on factorise 1-e^(i*(n-1)*Pi/n)] par e^[i*(n-1)*Pi/(2n)] et denominateur par e^[iPi/(2n)]
on arrive apres simplification a :
T(n)=e^(iPi/2)*{e^[i*(n-1)*Pi/(2n)] -e^[-i*(n-1)*Pi/(2n)]}/{e^[iPi/(2n)]-e^[-iPi/(2n)]}

on utilise la formule d'Euler suivante :
2i*sin(a)=e^(i*a)-e^(-i*a)

donc T(n)=e^(i*Pi/2)*sin[(n-1)*Pi/(2n)]/sin[Pi/(2n)]

donc S(n)=sin[(n-1)*Pi/(2n)]/sin[Pi/(2n)]

oui mais on veut cos au numerateur et pas sin, non ?

oui mais il faut voir que (n-1)/(2n)=1/2-1/(2n)

donc sin[(n-1)*Pi/(2n)]=cos[Pi/(2n)]

donc S(n)=cos[Pi/(2n)]/sin[Pi/(2n)] et ce pour n dans N*.

a+

Bonsoir Minotaure
Merci pour votre aide,  mais j'ai encore besoin de vous car je ne
comprends pas votre factorisation
pourriez-vous m'en dire plus, merci beaucoup
a+

oui en plus c'est pas
1-e^(i*(n-1)*Pi/n)]

mais factoriser e^(i*(n-1)*Pi/n)]-1

on appelle a=e^[i*(n-1)*Pi/(2n)]

b=e^[iPi/(2n)]

on a a²=e^(i*(n-1)*Pi/n)

donc e^(i*(n-1)*Pi/n)]-1=a²-1=a*(a-1/a) et 1/a=a barre.

donc e^(i*(n-1)*Pi/n)]-1=a*(a-abarre)

de meme on a e^(iPi/n)-1=b²-1=b*(b-bbarre)

U(0)=b²

on a donc T(n)=b²*a*(a-abarre)/[b*(b-bbarre)]

calculons b²*a/b=b*a=e^[iPi/(2n)]*e^[i*(n-1)*Pi/(2n)]=e^[i*n*Pi/(2n)]=e^(i*Pi/2)

donc T(n)=e^(i*Pi/2)*(a-abarre)/(b-bbarre)

puis utilisation de la formule d'Euler... la suite dans le message precedent...

si d'autres questions ou des precisions, pose-les.

Bonjour Minotaure,
Encore moi, comment passez vous  en utilisant la formule d'EULER de T(n) à S(n)
que faites vous de e^(i*pi/2)
merci
a+

non je ne passe pas de T(n) a S(n) en utilisant la formule d'euler.

apres factorisation on a
T(n)=e^(i*Pi/2)*(a-abarre)/(b-bbarre)

grace a la formule d'Euler :
a-abarre=2*i*sin((n-1)*Pi/(2n))

b-barre=2*i*sin(Pi/(2n))
donc T(n)=e^(i*Pi/2)*sin[(n-1)*Pi/(2n)]/sin[Pi/(2n)]
e^(iPi/2)=i

donc T(n)=i*sin[(n-1)*Pi/(2n)]/sin[Pi/(2n)]

et sin[(n-1)*Pi/(2n)]/sin[Pi/(2n)] est un nombre reel.
autrement dit T(n) est imaginaire pur

or S(n)=Im( T(n) )

donc S(n)= sin[(n-1)*Pi/(2n)]/sin[Pi/(2n)]

p.s. l'autre methode est plus simple (celle de ciocciu) avec quelques formules de trigonometrie ca passe tout seul.