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Posté par iska (invité) 17-09-05 à 21:11

Bjr,
Pouvez-vous m'aidez pour cet exercice, svp.
Voici l'énoncé :
Soit le nombre An = 3^(2n) + 2^(6n-5) où n est un entier strictement positif. Montrer par récurrence que An est divisible par 11 pour tout n 1.
Merci d'avance.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : suite 17-09-05 à 23:05

Salut !

Peut-être par une récurrence forte, en remarquant que tu as :
    A_{n+1}=(3^2+2^6)A_n-3^2\cdot2^6A_{n-1}

Posté par iska (invité)suite 19-09-05 à 22:49

je ne comprend pa comment tu arrive a cette récurrence la. Peux tu m'expliquer stp. Merci.

Posté par N_comme_Nul (invité)re : suite 19-09-05 à 23:19

Salut !

Et bien, c'est en griffonnant des conneries sur le papier que j'ai trouvé ça.
J'avais commencé par calculer
   (3^2+2^6)A_n, dans le but de faire apparaître A_{n+1}
et c'est là que je me suis aperçu que A_{n-1} apparaissait aussi.

Je mets ici mes calculs, mais il doit y avoir beaucoup plus simple. Je suis souvent à côté de la plaque ...
    (3^2+2^6)A_n=3^{2n+2}+3^2\cdot2^{6n-5}+2^63^{2n}+2^{6n+1}
bon, déjà A_{n+1} apparaît clairement et en regardant un peu, on voit A_{n-1} :
    (3^2+2^6)A_n=A_{n+1}+3^2\cdot2^62^{6n-11}+3^2\cdot2^6\cdot3^{2n-2}
et 3^{2n-2}+2^{6n-11} est précisément A_{n-1}
d'où la relation que j'ai trouvée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suite 20-09-05 à 05:36

En une ligne :
A_{n+1}=3^{2n+2}+2^{6n+1}=9.3^{2n}+64.2^{6n-5}=9.(3^{2n}+2^{6n-5})+55.2^{6n-5}=9A_n+11.5.2^{6n-5}
Donc si 11 divise A_n, alors 11 divise A_{n+1}
(mais je ne vois pas bien le rapport avec les suites, sujet de ce fil...)

Posté par N_comme_Nul (invité)re : suite 20-09-05 à 19:57

Salut !

La question précisait pourtant une récurrence ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suite 21-09-05 à 10:04

Bonjour N_comme_Nul,

Si c'est à moi que ta remarque s'adresse, je ne la comprends pas.
Mon argument de 5h36 permet justement de démontrer la partie "hérédité" de la récurrence.

Nicolas

Posté par N_comme_Nul (invité)re : suite 24-09-05 à 21:24

Ne fais pas attention Nicolas ... j'étais "ailleurs" .

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suite 25-09-05 à 14:52


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