Il faut que tu compares Vn+1 avec Vn. Donc si tu calcules Vn+1 , tu dois trouver un truc du genre :

Vn+1 = Vn + (1-n) / (n+1)!

Or tu vois que pour n=>2 le second terme est toujours négatif.

Donc dés que n est supérieur ou égal à 2 : Vn+1 < Vn
La suite est bien décroissante.

Pour la suite, je ne me rappelle plus la définition de "suites adjacentes" ?
Ah ça y est, je viens de retrouver ça sur le net.

"Soit U et V deux suites définies dans N.
Dire que U et V sont adjacentes, c'est dire que
                    · l'une est croissante
                    · l'autre est décroissante
                    · lim (V-U)=0"

Bon ben on vient de prouver que Vn était décroissante pour n=>2
Pour Un, on voit clairement que la suite est croissante sur tout n. (rajout d'une fraction positive de plus en plus petite).

Pour calculer la limite on fait Vn-Un = 1/n! et 1/n! tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Donc ce sont bien des suites adjacentes.

On appelle donc l cette limite commune. (comme lim (V-U) = 0 => lim U = lim V = l)

2) Pour cette dernière question, tu te sers de l'encadrement de Un et comme on veut une réponse à 10-7 prés, tu utilises n=11 et tu as ta réponse pour l.

je ne comprend pas pkoi tu trouve vn+1 = vn ...
sachant que dans l'énoncé j'ai vn=un+...  ???

Ok

alors Vn = Un + 1/n! (postulat de base)

Donc Vn+1 = Un+1 + 1/(n+1)!

En remplaçant Un+1, on obtient :

Vn+1 = 1/0! + 1/1! + .....+ 1/n! + 1/(n+1)! + 1/(n+1)!

donc Vn+1 = Un + 2/(n+1)!

Or Vn = Un + 1/n! <=> Un = Vn - 1/n!

En remplaçant Un, tu obtiens : Vn+1 = Vn - 1/n! + 2/(n+1)!

et après réduction au même dénominateur, ça donne :

Vn+1 - Vn = (1 - n)/(n+1)!

re j'ai trouvée une autre facon peu tu me dire si c'est bon?

initialisation: vraie au rang 2: v3v2
                                 17/63

supposon la propriété vraie au rang n: Vn+1 vn
                                       un+1 + 1/(n+1)!un +1/n!
Demontrons au rang n+1: vn+2Vn+1?
                        Un+2 + 1/(n+2)! Un+1 + 1/(n+1)!?

            Partons de Un+1 + 1/(n+1)!Un + 1/n!  
                       Un+1 + 1/(n+2)! + 1/(n+1)! Un + 1/n! + 1/(n+2)!
                     Or on sait que 1/(n+2)! = 1/(n+1)! * 1/n+2
                        Un+2 + 1/(n+1)! Un+1 *1/(n+2)+1/n!
                   Vn+2Vn+1*1/(n+2)Vn+1
est ce que c'est bon ???

"Partons de Un+1 + 1/(n+1)! Un + 1/n!  
Un+1 + 1/(n+2)! + 1/(n+1)! Un + 1/n! + 1/(n+2)!
Or on sait que 1/(n+2)! = 1/(n+1)! * 1/n+2
Un+2 + 1/(n+1)! Un+1 *1/(n+2)+1/n!
Vn+2 Vn+1*1/(n+2) Vn+1"


L'égalité en noir me semble fausse... il manque des termes.

Pour être plus précis, tu as transformé :

Un + 1/n! + 1/(n+2)! en Un+1 * 1/(n+2) + 1/n!

il y a un truc qui ne va pas là dedans.

Un+1 = Un + 1/(n+1)!

Disons que ton expression n'est plus homogéne. Y a une faute de transformation.

ba Un+2 c'est Un+1 + 1/(n+2)!

et Un+1 c'est Un +1/(n+1)!

donc je retrouve bien la ligne il ne manque rien :'(

1/(n+2)! = + 1/(n+1)! * 1/n+2

V(n) - U(n) = 1/n!

--> V(n) - U(n) > 0
V(n) > U(n) pour tout n.
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lim(n -> oo) [V(n) - U(n)] = lim(n -> oo) [1/n!] = 0
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En regroupant tous les résultats on a:

V(n) est décroissante pour n >= 2
U(n) est croissante
V(n) > U(n) pour tout n.
lim(n -> oo) [V(n) - U(n)] = 0

Des 4 lignes précédentes, on conclut que les suites U(n) et V(n) sont adjacentes pour n >=2
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Comme les suites Vn et Un convergent vers L, on a:

V(n) = U(n) + (1/n!)

On a V(n) <= L <= U(n) pour tout n

U(n) + (1/n!) <= L <= U(n) pour tout n

Donc pour n tel que 1/n! <= 10^-7, on a L = U(n) à moins de 10^-7 près.

Soit pour n! >= 10^7
n >= 11

U(11) = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/11!
U(11) = 2,718281826...

On a L = 2,7182818 à moins de 10^-7 près.
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Sauf distraction.