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suite
bonjour
la suite (Un) est définie pour tout n apaartenant à 
par :
Uo=1 et U(n+1)= Un/(2+Un²)
a. démontrer que quel que soit n Un>0 ça je l'ai démontré par récurrence
b. montrer que pour tout n U(n+1) < Un/2
en déduire l'inégalité Un< Uo/2^n
c.montrer que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.
mici d'avance
papillon
salut
on a Un²> 0==> 2+Un > 2 ==> 1/(2+Un²) < 1/2 donc Un/(2+Un²) < Un/2
d'ou U(n+1) < Un/2
salut!
b) Un+1 - Un/2 = Un/(2+Un²) - Un/2 = Un[1/(2+Un²) -1/2]
= Un[(2-2-Un²)/(4+2Un²]
= Un[-Un/(4+2Un²)]= -(Un)^3 /(4+2Un²) < 0
car Un < 0 pour tout n; donc Un+1 < Un/2 pour tt n.
on a: Un < Un-1 /2 < Un-2 /4 < Un-3 /8 <...< Uo /2^n
c) Uo /2^n tend vers 0 si n tend vers l'infini; donc Un tend aussi vers 0 si n tend vers l'infini (theoreme de comparaison).
on a U(n+1) < Un/2 donc
U1 < U0/2
U2 < U1/2
U3 < U2/2 et ainsi de suite
. .
. .
. .
. .
Un < U(n-1)/2
jes termes de toutes ces inegalites sont tous positifs
on les multiplie membre à membre on obtient:
U1.U2.U3.........U(n-1).Un <(U0/2).(U1/2).(U2/2).................(U(n-1)/2)
on simplifie par U.-1.U2.U3.......U(n-1) des 2 membre on obtient
Un < (U0)(1/2 .1/2 .1/2..........1/2) (n fois)
donc Un <(U0)(1/2)^n
Un < (U0)/(2^n)
le théorème des comparaisons il n'est pas applicable seulement dans les cas où la limite est +00 ou -00 ????
U1.U2.U3.........U(n-1).Un <(U0/2).(U1/2).(U2/2).................(U(n-1)/2)
on simplifie par U.-1.U2.U3.......U(n-1) des 2 membre on obtient
Un < (U0)(1/2 .1/2 .1/2..........1/2) (n fois)
U1.U2.U3.........U(n-1).Un <(U0/2).(U1/2).(U2/2).................(U(n-1)/2)
U1.U2.U3.........U(n-1).Un < (U0.U1.U2............U(n-1))/(2.2.2.2......2) (nfois)
on peut pas te faire mieux essaye de regarder avec attention ce que je t'ai donne
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