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Suite
Bonjour à tous, je bloque sur un exercice et je ne sais pas si ce que j'ai mis est juste, j'ai besoin d'aide. Voici l'énoncé :
La suite (Un) est définie par U1=-l et, pour tout entier naturel n non nul :
Un+1=(n/(2*(n+1))*Un+((3*(n+2))/(2*(n+1))
1) Montrer que pour tout entier n supérieur à 0, Un est inférieur à 3.
2) Etudier le sens de variation de la suite Un .
3) La suite (Vn) est définie sur IN* par Vn=n(3-Un).
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) En déduire l'expression de Vn, puis de Un en fonction de n.
c) Etudier la convergence de (Vn) et de (Un)
Alors je sais la question 1 et 2 on déjà été VAGUEMENT traité sur ce forum mais j'aimerais vraiment des réponses claires et précises. Je vous mets mes réponses à la suite...
Pour la 1) :
On veut montrer que pour tout entier n supérieur à 0, on a (Un) inférieur à 3.
Pour cela on démontre par récurrence que si (Un) inférieur à 3 alors (Un+1) est également inférieur à 1 pour tout entier n supérieur à 0.
Initialisation : On sait que U1=1 donc U1<3.
Donc la propriété est vraie pour n=1.
Hérédité :Supposons que Un<3 est vraie et démontrons que Un+1<3 est vraie pour tout entier n > 0
Un+1=nUn/2(n+1)+3(n+2)/2(n+1)
Un+1-Un=nUn/2(n+1)-Un+3(n+2)/2(n+1)
Un+1-Un=Un[n/2(n+1)-1]+(3/2)[(n+2)/(n+1)]
Un+1-Un=Un(-n-2/2(n+1))+(3/2)[(n+2)/(n+1)]
Un+1-Un=-Un(n+2/n+1)+(3/2)[(n+2)/(n+1)]
Un+1-Un=[-Un(n+2)+3(n+2)]/2(n+1)
Un+1-Un=[(n+2)/(n+1)](3-Un) or Un<3 donc 3-Un>0
Conclusion :Pour tout entier n supérieur à 0, nous avons montrer que pour U1=1 la propriété été vraie et par hérédité nous avons démontré que pour tout Un+1, la suite été inférieur à 3 donc Un<3.
PS : Je ne suis pas du tout certain pour l'hérédité... Si on pourrait me corriger ce ne serait pas de trop, merci.
je ne comprends pas bien pourquoi tu te mets à calculer Un+1-Un alors qu'on te demande de majorer Un+1 ?
il te suffisait d'utiliser ton hypothèse de récurrence
Un+1 =nUn/2(n+1)+3(n+2)/2(n+1) 
3n/2(n+1)+3(n+2)/2(n+1) = 6(n+1)/2(n+1) = 3
Par contre ton Un+1 -Un, ça va te servir pour étudier les variations de la suite !
Je ne comprends pas trop la fin de ton inégalité :
= 6(n+1)/2(n+1) = 3
je vois pas trop d'où ça sort
juste avant c'est 3n/2(n+1)+3(n+2)/2(n+1)
donc au numérateur 3n + 3(n+2) = 6n+6 = 6(n+1)
et au dénominateur 2(n+1)
on simplifie les n+1 et ça donne 6/2 donc 3
et donc on a montré que Un+1 3 et donc que linégalité est encore vraie pour n+1.
Et donc en gros pour la question 1 je fais simplement un raisonnement par récurrence :
Un+1 =nUn/2(n+1)+3(n+2)/2(n+1) 3n/2(n+1)+3(n+2)/2(n+1) = 6(n+1)/2(n+1) = 3
Juste ça donc ?
avec un au milieu !
sens de variation de la suite Un : trouve le signe de Un+1-Un
tu l'as déjà calculé d'ailleurs Un+1-Un
Ok, donc pour la 2 je marque simplement ça :
Un+1=nUn/2(n+1)+3(n+2)/2(n+1)
Un+1-Un=nUn/2(n+1)-Un+3(n+2)/2(n+1)
Un+1-Un=Un[n/2(n+1)-1]+(3/2)[(n+2)/(n+1)]
Un+1-Un=Un(-n-2/2(n+1))+(3/2)[(n+2)/(n+1)]
Un+1-Un=-Un(n+2/n+1)+(3/2)[(n+2)/(n+1)]
Un+1-Un=[-Un(n+2)+3(n+2)]/2(n+1)
Un+1-Un=[(n+2)/(n+1)](3-Un) or Un<3 donc 3-Un>0
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