Non cela ne marche pas : une suite géométrique a une raison indépendante de n or ici tu dis que q = (1 + k ^{n - 1})
Il faut faire une récurrence :
tu vérifies que la relation est vraie pour n = 2 (plus petite valeur donnée dans la relation)
Tu montres que si u _n =  (1 + k)  (1 + k ²) ...  (1 + k ^{n - 1}) alors u _{n + 1} =  (1 + k)  (1 + k ²) ...  (1 + k ^{n - 1}) (1 + k ⁿ)
ce qui qe fait sans douleur en utilisant la définition u _{n + 1} = (1 + k ⁿ ) u _n , il suffit de remplacer u _n par la valeur donnée en hypothèse de récurrence

Merci pour la réponse rapide,
je n ai pas le droit de voir que Un+1=(1+k^n)Un  est une suite geométrique de raison (1+k^n) ?
je ne comprends pas pour faire n=2 il faut savoir combien fait U2 puis calculer de l'autre coté de l'egalité  puis voir que c est la meme chose mais comment faire pour connaitre U2

Merci pour la précision avec la raison qui doit etre indépendante de n je n'avais pas assimilé cette propriété.
J'ai beaucoup de mal avec les suites,je ne comprends pas :"Mais comme tu as fait. tu fais n=1" car on me dit pour la démonstration par récurrence dans l'énoncé n>=2 ?

Peu importe, on peut commencer la récurrence où on veut. mais oui commençons la à 2. tu as U₂ maintenant, la formule est-elle vérifiée pour n=2 alors ?

si je remplace dans la formule n par 2:
(1+k)(1+k^2)(1+k) <> de U2 désolé mais j'ai vraiment du mal avec cet exercice !

Déjà dit :
tu fais n=1 (et pas n=2, si tu fais n=2 ça te donne U₃) dans U_n+1=(1+kⁿ)U_n et ça donne U₂ = (1+k)U₁ = 1+k

oui mais c'est la ou je ne comprends pas car pour la récurrence n>=2

si je remplace n par dans la formule je trouve (1+k)(1+k^2)(2) toujours <> de U2 ?

Bonjour,
Ce qui me tracassait c'était que pour faire la récurrence il fallait prendre n >=2 pour Un et la formule .
Par contre ce que je ne comprends pas encore si je remplace n=2 dans la formule je ne trouve pas 1+k comme dans la formule de récurrence mais (1+k)(1+k^2)(1+k) soit
(1+k)^2(1+k^2) a moins que l'on ne tienne pas compte des 2 premiers termes de la formule et la je ne comprendais pas pourquoi

pourquoi on ne prend pas les 2 premiers termes (1+k)(1+k^2) ?

il y a un 1 + k^n-1 donc pour n=2 ça donne 1+k donc on s'arrête la.
c'est pour n=3 qu'on prendrait un facteur en plus

Bonjour,
ok je m'aperçois qu'il y a encore des choses que m'échappent sur les suites.
Je vous remercie pour le temps passé.

pour la suite de l exercice on pose Vn=ln(Un)
demontrer pour x>0  ln(1+x)<=x  j ai etudié la fonction ln(1+x)-x j ai demonter quelle etait
toujours negative et decroissante
la question est en déduire que Vn est majorée par k/1-k  je suppose que l on fait la comparaison 1+x avec 1+k sachant qu une suite decroissante a pour 1 er terme son majorant dons ici n=2  ln(1+k) mais je n arrive pas a faire le lien avec k/1-k

Donc on sait que ln(1+x) x
et V_n=ln(U_n) = ln ((1+k)(1+k²)....(1+k^n-1) ] = ln(1+k) + ln(1+k²) + ....+ ln(1+k^n-1)
ça ne te donne pas des idées pour majorer V_n ?

Bonjour,
une suite decroissante est majorée par son premier terme V2=ln(1+k) mais je n arrive pas a faire le lien avec k/1-k ?

majore chaque terme de la somme en te servant de l'inégalité.

(pourquoi décroissante ? on ajoute des termes quand on augmente n
donc elle ne risque pas d'être décroissante !)

k+k^2+k^3 ?

Effectivement, ln V_n k+k^2+k^3+ ...+ k^(n-1)
Et donc ? ne reconnais-tu pas la somme des termes d'une suite géométrique ?

k+k^2+....k^(n-1)=(1-k^n/1-k)-1

k-k^(n-1)/1-k  lorsque l'on fait tendre n vers l'infini on obtient k/1-k (car k<0) ?

erratum k<1

pas tout à fait, applique bien la formule


ça donne donc k(1-k^n-1)/(1-k)
k n'est pas négatif, donc n'écris pas n'importe quoi, l'énoncé donne 0 < k < 1
et pour l'instant on ne passe pas à la limite.
il faut dire alors que 1-k^n-1 < 1 et donc que la somme est < k/(1-k) qui est bien ce que l'on te demandait, non ?

Bonjour
oui k n' est pas négatif j'avais rectifié par un erratum .
on demande dans l exercice de montrer que U est majorée
puis-je dire que comme Vn<k/1-k  Vn=ln Un alors Un<exp(k/1-k) ?

oui

Merci pour la réponse

l 'exercice demande : étudier le sens de variation de U  et en déduire sa convergence:
le sens de variation de u est croissante (Un+1/Un=1+k^n avec 1+k^n >1)
pour la convergence si U croissante et majorée par exp(k/1-k) donc la suite converge vers cette valeur ?

U croissante et majorée donc converge oui
mais pas forcement vers exp(k/(1-k)), ça on n'en sait rien du tout.