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Posté par
thunder12
14-04-20 à 10:26

Bonjour à tous:

Voila je rencontre un petit soucis. Je traite un exercice sur les récurrences mais je bloque à une étape.
Voici l'énoncé:

"Soit n un entier naturel non nul. Dans le plan, on trace n droites telles que deux d'entre elles ne soient
pas parallèles et trois d'entre elles ne soient pas concourantes. Déterminer le nombre Rn de régions du plan ainsi
délimitées par ces n droites"( Maths-France )

Je réussis à trouver que R(n+1) = Rn  + n+1

Cependant je n'arrive pas  à passer sous forme explicite qui est Rn = (n(n+1))/2      +1

La récurrence en elle même ne pose pas de problème c'est juste le passage d'une forme récurrente à une forme explicite qui me pose ici problème.

Cordialement

Posté par
Glapion Moderateur
re : suite 14-04-20 à 11:23

Bonjour
écris les relations Rn+1 = Rn + n+1 les unes en dessous des autres en commençant par Rn :

Rn = Rn-1 + n
Rn-1 = Rn-2 + n -1
------------
R2 = R1 + 2
R1 = R0 + 1
et ajoute toutes ces égalités membre à membre

Posté par
thunder12
re : suite 14-04-20 à 11:44

Pourquoi ne m'a t-on jamais enseigné cela... Cette technique à t-elle un nom?

Cela fait  depuis hier que je cherche.

On se trouve avec R1+ R2+...+Rn-1+Rn  = R0+R1+...RN-2+ RN-1 + (la somme de 1+2+...n) +1

Nous avons donc  R1+ R2+...+Rn-1+Rn= R1+...R(N-2)+ R(N-1) +( n(n+1)/2 ) +1

Puis on soustrait. Nous avons donc Rn =  (n(n+1)/2)  +1

La formule que je chercher

Merci infiniment.

P.S: je ne sais pas faire les indices.



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