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Niveau terminale
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suite

Posté par
Hoffnung
02-02-21 à 22:22

salut ,

On a la suite (Un) définie sur N par: U0=2 ; Un+1=f(Un)
f(x) = 2+\frac{3x}{\sqrt{1+x^2}}

j'ai montré que \left|f'(x) \right|\leq \frac{1}{\sqrt{3}}.(f'(x)=\frac{3}{(\sqrt{1+x^2})^{3}}).
et que  U_{n}\geq 2 pour tout n\in N.

Je peine à montrer que pour tout n\in N : \left|U_{n+1}-\alpha  \right|\leq\frac{1}{\sqrt{3}} \left|U_{n}-\alpha  \right| ( avec \alpha est l'unique solution de l'equation f(x)=x sur \left[\sqrt{2} ;\right+\infty [).

Merci d'avance.

Posté par
LeHibou
re : suite 02-02-21 à 22:52

Bonjour,

As-tu entendu parler de l'Inégalité des Accroissements Finis ?
Elle est au programme de Terminale et elle s'applique directement ici...

Posté par
Hoffnung
re : suite 03-02-21 à 05:31

bonjour, ah! est-ce le seul moyen de résoudre la question ?  car le programme a été allégé pour nous cette année..

Posté par
LeHibou
re : suite 03-02-21 à 23:11

Ce que tu veux montrer, compte tenu de Un+1 = f(Un) et de f() = , c'est :
|f(Un) - f()| Max|f'(x)|*|Un - |
C'est exactement de que dit l'Inégalité des Accroissements Finis, et non, sauf à la redémontrer dans ce cas particulier, je ne vois pas d'autre voie.
Tu peux t'inspirer de ce document, qui est par ailleurs un excellent cours de Terminal TS, page 18 :

Posté par
LeHibou
re : suite 03-02-21 à 23:15

Désolé, il y a une erreur dans la numérotation de la table des matières, c'est section 3.2 en page 22.

Posté par
Hoffnung
re : suite 04-02-21 à 06:23

ok, merci



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