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Suite.

Posté par
matheux14
20-04-21 à 15:43

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la suite (Un) par : \forall n \in \N* , U_{n}=\sum^{2n-1}_{p=n}\dfrac{1}{p+1}.

1) Calculer U1 , U2 et U3.

2) Démontrer que (Un) est croissante.

3-a) Démontrer que : \forall x \in ]0 ; +\infty[ , \ln x \le x-1.

b) En déduire que \forall x \in ]0 ;+\infty[ , \ln x \ge 1-\dfrac{1}{x}.

c) En déduire que pour tout entier p ≥ 1 , \dfrac{1}{p+1}\le \ln\left(\dfrac{p+1}{p}\right) \le \dfrac{1}{p}.

d) En déduire que : \forall n \in \N* , U_n \le \ln(2n)-\ln(n) \le U_n +\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n}.

e) En déduire \lim_{n\to+\infty} U_n

1) J'ai des doutes au niveau de ma réponse à la première question..

Sinon le reste ça va.

Posté par
lake
re : Suite. 20-04-21 à 15:46

Bonjour,

Tu pourrais donner tes résultats pour 1) ?

Posté par
matheux14
re : Suite. 20-04-21 à 16:14

U1= 1/2

U2= 1/4

U3= 1/6

Posté par
lake
re : Suite. 20-04-21 à 16:21

Seul u_1 est correct.

Combien de termes la somme u_n compte-elle ?

Posté par
matheux14
re : Suite. 20-04-21 à 16:27

(2n-1)-n+1=n termes.

Posté par
lake
re : Suite. 20-04-21 à 16:29

Oui et donc u_2 est une somme de 2 termes. (Avec p variant de 2 à 3).

u_3 est une somme de 3 termes. (Avec p variant de 3 à 5).

Posté par
matheux14
re : Suite. 20-04-21 à 16:34

U2= 3-2+1=2

U3= 5-3+1=3

Posté par
lake
re : Suite. 20-04-21 à 16:36

Mais par exemple pour u_2, les 2 termes en question sont de la forme \dfrac{1}{p+1}  pour p=2 et p=3 et on effectue leur somme.

Posté par
lake
re : Suite. 20-04-21 à 16:54

Je vois que tu es déconnecté mais tout de même :

  

Citation :
Sinon le reste ça va.


Je suis curieux de savoir comment tu as traité 2) en particulier ton résultat pour le calcul de u_{n+1}-u_n.

Posté par
matheux14
re : Suite. 20-04-21 à 22:21

2) Démontrons que (Un) est croissante.

\forall n \in \N* , U_{n+1}-Un=\sum^{2n+1}_{p=n+1}\dfrac{1}{p+1}-\sum^{2n-1}_{p=n}\dfrac{1}{p+1}

=\sum^{2n-1}_{p=n+1}\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\left(\dfrac{1}{n+1}+\sum^{2n-1}_{p=n+1}\dfrac{1}{p+1} \right)

U_{n+1}-U_{n}=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}

=\dfrac{1}{2n(2n+1)} > 0

U_{n+1}-U_{n} > 0 ==> U_{n+1} > U_{n}.

Donc (Un) est croissante.

Posté par
lake
re : Suite. 20-04-21 à 23:00

Citation :
U_{n+1}-U_{n}=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}


Juste.

Citation :
=\dfrac{1}{2n(2n+1)} > 0


Une erreur; plutôt : \dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}

C'est tout de même extraordinaire que tu saches calculer ceci et pas les premiers termes de la suite (u_n) ...

On les attend toujours d'ailleurs.

Posté par
matheux14
re : Suite. 21-04-21 à 07:00

U2=7/12

U3=37/60

Je travaille seul .. J'ai souvent du mal à démarrer les exo..

Posté par
lake
re : Suite. 21-04-21 à 10:14

Exact !

Tu as bien du mérite

Posté par
matheux14
re : Suite. 21-04-21 à 15:24

Merci



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