Appliquez le théorème de Pythagore  






Continuez

2) Un+1 = O An+1

On veut des nombres.

Que vaut alors

A2O² = OA1² + A1A2²

Certes, mais   et



Ce sont des distances, on ne garde que la racine positive.

Que valent

u3 = 1+1 = 2

O An+1 correspond à la somme des longueurs ?

Non,  on construit ce que l'on appelle l'escargot de Pythagore.


Si l'on veut , c'est-à-dire

En utilisant le théorème de Pythagore, on a



En utilisant le résultat précédent

je laisse ainsi pour l'homogénéité.

Je ne vois pas comment je peux procéder afin de déterminer la récurrence.

Écrivez la relation de Pythagore pour calculer ,
autrement dit pour avoir

Je suis bloquée :
Je peux appliquer la relation de Pythagore pour 3 triangles rectangles.
Je dois calculer OA²n+1 mais de quel A s'agit-il ?
A1,A2,A3 ou A4?

Les segments, partant de O, sont notés pour le premier ensuite OA_2, OA_3, OA_4 etc
Comme on peut aller aussi loin que l'on veut, au lieu de donner une lettre différente à chaque extrémité, on en donne une, A, suivie d'un indice.

les triangles sont

Pour tout n est l'hypoténuse. La valeur de donnera le terme de la suite.

U_n+1 = OA²_n+1
On a OAnAn+1 = 1 et 0A1 = A1A2 = 1

OA²_n+1 = 1² + 1²

premier segment OA_1 =1 donc u_1=1

deuxième segment   c'est l'hypoténuse du triangle

donc

troisième segment   c'est l'hypoténuse du triangle

donc

quatrième segment   c'est l'hypoténuse du triangle

donc

cinquième segment   c'est l'hypoténuse du triangle

donc

et on continue ainsi

sur la figure, il a été mis des lettres différentes, ce sont les

Bonjour,

𝑂𝐴𝑛𝐴𝑛+1 = OA1 + OA2 + OA3 + OA4 = 1 ?

Bonjour

Trois points forment un triangle. Ce ne peut être égal à  1.

La suite est formée par les longueurs des hypoténuses des triangles successifs,
un côté de l'angle droit a toujours pour mesure 1, l'autre a pour longueur
l'hypoténuse du triangle rectangle précédent.
C'est ce que je vous ai écrit hier à 23 : 08.

On considère le triangle

longueur de l'hypoténuse du triangle précédent,

l'une écriture est explicite, l'autre par récurrence. On peut donc écrire dans ce triangle rectangle le théorème de Pythagore.

Triangle rectangle : OAnAn+1
OAn = AnAn+1 + ?

Dans le triangle , je vous ai écrit que l'hypoténuse était le segment et les côtés de l'angle droit

et .

Avec cela, vous pouvez bien écrire le théorème de Pythagore. On verra pour les longueurs ensuite

OAn+1² = AnAn+1² + 0An²

Maintenant, on passe aux longueurs.



Par définition de la suite =

Par hypothèse, tous les donc

Par construction, les longueurs des segments partant de 0 ont pour valeur,  la longueur de l'hypoténuse du triangle précédent, soit .

Appliquez

OAn+1 = 1² +n

Non et d'abord

Citation :
Soit la suite définie par pour tout entier naturel non nul.

Un+1 = A + Un

J'ai oublié une partie :
Il s'agit de AnA²n+1

forme explicite: un =1-U²n+1 ?

Non, ce serait plutôt une forme par récurrence descendante puisque vous partez de pour obtenir

Que vaut ?

Un = OAn

Certes, mais alors que vaut explicitement ?

OAn = 1

Non, regardez les premiers termes,

OAn= OAn

Vous redites la même chose

si alors et c'est ce que vous aviez dit au message précédent

reprenons





Que peut-on supposer pour   ?

un = n

Oui

Reprenons l'ensemble du problème.
Vous calculez en utilisant le théorème de Pythagore et vous en faites autant pour les deux suivants.

Question 2 on considère le triangle pour montrer que C'est bien une relation de récurrence.

Question 3  on s'appuie sur les résultats de 1) pour supposer (conjecturer) que  
On s'arrêtera là puisque la démonstration n'est pas demandée bien qu'elle soit évidente.

D'accord,
Merci beaucoup de m'avoir aidée.
Bonne journée.

De rien