lim(n->oo) Un = ln(1) = 0
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U(n+1) = ln((n+1)/(n+2))

U(n) = ln(n/(n+1))

U(n+1) - U(n) = ln((n+1)/(n+2)) - ln(n/(n+1))
U(n+1) - U(n) = ln((n+1)/(n+2)) + ln((n+1)/n)
U(n+1) - U(n) = ln[(n+1)²/(n(n+2))]

f(x) = (x+1)²/(x(x+2)) pour x >= 1
f(x) = (x+1)²/(x²+2x)
f '(x) = (2(x+1)(x²+2x)-(x+1)²(2x+2))/(x²+2x)²
f '(x) = (2(x³+3x²+2x)-(x²+2x+1)(2x+2))/(x²+2x)²
f '(x) = (2x³+6x²+4x-(2x³+6x²+6x+2))/(x²+2x)²
f '(x) = (-2x-2))/(x²+2x)²

f '(x) < 0 pour x >= 1 -> f(x) décroissante.
lim(x->oo) f(x) = 1
et donc f(x) > 1 pour x dans [1 ; oo[
->
(n+1)²/(n(n+2)) > 1 pour n de N*
et donc ln[(n+1)²/(n(n+2))] > 0 pour n de N*

-> U(n+1) - U(n) > 0 pour tout n de N*
U(n+1) > U(n) pour tout n de N* et la suite Un est strictement croissante.
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Sn = ln(1/2) + ln(2/3) + ln(3/4) + ln(4/5) + ... ln(n/(n+1))
Sn = ln((1/2)*(2/3)*(3/4)*(4/5)* ... * (n/(n+1))
-> en simplifiant au maximum ->
Sn = ln((1/(n+1)) = -ln(n+1)

lim(n->oo) Sn = -oo
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Sauf distraction.  (vérifie les calculs)