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suite adjacente

Posté par dinah (invité) 11-05-05 à 21:51

bonjour à tous, j'aimerais q'uon m'aide pour cette exo svp

les suites (Un) et (Vn) sont définies sur N par :

     {  U0= 1  ; V0= 2
     {  Un+1 =  (Un+Vn)/2 ; Vn+1 = (Un+1)+ Vn / 2

1) démontrer kil existe un réel k tel que, quel que soit n :
      Vn+1 - Un+1 = k ( Vn - Un )
2) prouver par récurence que , pour tt n ,  Un < Vn
3) montrer que les suites  ( Un) et ( Vn) sont convergentes
4) a- soit Wn = (avec n (en haut)et (p=0)enbas)   ( Vp-Up )
   donner l'expression de Wn en fonction d en

  b- exprimer ( avec (n-1)enhaut et p=0 enbas) ( Up+1 - Up ) enfonction de Wn , puis en fonction de Un et de U0
en déduire l'expression de Un en fonction de n
  c- quelle est la limite de ( Vn)

pourriez vous m'aidez pour cette exo
merci bcp

Posté par
H_aldnoerre : suite adjacente 11-05-05 à 22:25

slt

j'ai beau essayer je ne vois pas peut que tes suites sont mal definis :

est ce ceci ?

3$\rm \{U_0=1 ; V_0=2\\U_{n+1}=\frac{U_n+V_n}{2} ; V_{n+1}=U_n+1+\frac{V_n}{2}

Posté par cookies (invité)re : suite adjacente 12-05-05 à 13:13

oui pour Un+1
mais pour Vn+1 = (Un+1 + Vn) / 2

si vous pourriez m'aider

Posté par dolphie (invité)re : suite adjacente 12-05-05 à 13:33

Salut,
u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}
v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+v_n}{2}

v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_{n+1}+v_n-u_n-v_n}{2}
v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_{n+1}-u_n}{2}
v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{\frac{u_n+v_n}{2}-u_n}{2}
v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{-u_n+v_n}{4}
v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{4}

donc k=1/4...

Posté par dolphie (invité)re : suite adjacente 12-05-05 à 13:35

2. Récurrence:
Pn: "pour tout n, v_n-u_n >0"
*Po....
*Pn => P(n+1): utilise (1.)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : suite adjacente 12-05-05 à 14:04

Gros coup de pouce.

1)

U(n+1) =  (U(n)+V(n))/2 ; V(n+1) = [U(n+1)+ V(n)] / 2

V(n+1) - U(n+1) = k.(V(n) - U(n))

[U(n+1)+ V(n)]/2 - U(n+1) =   k.(V(n) - U(n))

[V(n) - U(n+1)]/2 =   k.(V(n) - U(n))

[V(n) - ((U(n)+V(n))/2)]/2 =   k.(V(n) - U(n))

[V(n) - U(n)/2 - V(n)/2)]/2 =   k.(V(n) - U(n))

[V(n) - U(n)]/2 =  k.(V(n) - U(n))

Et donc k = 1/2
-----
2)

U(n+1) =  (U(n)+V(n))/2
-->
Si U(n) et V(n) sont > 0, alors U(n+1) > 0

et Vn+1 = [U(n+1)+ V(n)]/ 2 est également > 0

Comme U(0) et V(0) sont > 0, ou a U(n) et V(n) > 0 pour tout n de N

Avec
V(n+1) - U(n+1) = k (V(n) - U(n) )
Comme k est positif, V(n+1) - U(n+1) a le même signe que V(n) - U(n) (1)

V(0) - U(0) = 2 - 1 = 1
V(0) - U(0) > 0 et par (1) -->

V(n) - U(n) > 0 pour tout n de N
V(n) > U(n)  pour tout n de N
U(n) < V(n)  pour tout n de N
-----
3)
U(n+1) - U(n) = (U(n)+V(n))/2 - U(n)
U(n+1) - U(n) = (V(n)-U(n))/2
U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n)
et donc Un est une suite croissante.

V(n+1) - V(n) = (U(n+1)+ V(n))/2  -V(n)
V(n+1) - V(n) = (U(n+1) - V(n))/2
V(n+1) - V(n) = ((Un+Vn)/2  - V(n))/2
V(n+1) - V(n) = (Un-Vn)/4
V(n+1) - V(n) < 0
V(n+1) < V(n)
et donc Vn est une suite décroissante.

On a donc:
U(n) < V(n)  pour tout n de N
Un est une suite croissante.
Vn est une suite décroissante.

Des 3 lignes précédentes, on conclut que Un et Vn sont des suites adjacentes.

Elles convergent donc.
-----
Je passe le relais à un autre volontaire ...

Sauf distrcation.  



Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : suite adjacente 12-05-05 à 14:06

Zut, il y a un facteur 1/2 qui s'est perdu dans mes calculs, on doit trouver k = 1/4

...
[V(n) - U(n)/2 - V(n)/2)]/2 = k.(V(n) - U(n))

[V(n) - U(n)]/4 = k.(V(n) - U(n))

Et donc k = 1/4



Posté par dolphie (invité)re : suite adjacente 12-05-05 à 14:24

ah...j'avais peur d'avoir fait une erreur.

Posté par dolphie (invité)re : suite adjacente 12-05-05 à 14:29

Je prends le relais...
4. soit Zn=(Vn-Un). (Zn)n  est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1/4 (cf question 1)
donc \sum_{p=0}^n(v_n-u_n)=\sum_{p=0}^nZ_n=Z_0\frac{1-(\frac{1}{4})^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}
\sum_{p=0}^n(v_n-u_n)=\frac{4}{3}-\frac{1}{3\times 4^n}

Posté par dolphie (invité)re : suite adjacente 12-05-05 à 14:33

4.b) u_{p+1}-u_p=\frac{u_p+v_p-2u_p}{2}
u_{p+1}-u_p=\frac{v_p-u_p}{2}
ainsi:
\sum_{p=0}^{n-1}(u_{p+1}-u_p)=\frac{1}{2}W_{n-1}

Posté par cookies (invité)re : suite adjacente 12-05-05 à 19:26

merci pr tt
mas koment faire pour le 4) b- avec Un et U0
et koment trouver la limite de Vn

merci bcp de votre aide

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : suite adjacente 13-05-05 à 10:12

\sum_{p=0}^{n-1} = (U_{p+1}-U_p} = (U_1 - U_0) + (U_2 - U_1) + (U_3 - U_2) + ... + (U_n - U_{n-1})

\sum_{p=0}^{n-1} = (U_{p+1}-U_p} = -U_0 + U_n

\frac{1}{2}W_n = -U_0 + U_n

U_n = U_0 + \frac{1}{2}W_n

lim_{n\to \infty} U_n = U_0 + \frac{1}{2}.lim_{n\to \infty} W_n

lim_{n\to \infty} U_n = 1 + \frac{1}{2}.\frac{4}{3}

lim_{n\to \infty} U_n = 1 + \frac{2}{3}

lim_{n\to \infty} U_n = \frac{5}{3}
-----
Comme V(n+1) - U(n+1) = (1/4).(V(n) - U(n)), la suite de terme général (Vn - Un) est une progression géométrique de raison 1/4 et donc cette suite converge vers 0.
Donc Un et Vn convergent vers la même valeur.

Les suites Un et Vn convergent donc toutes deux vers 5/3.
-----
Sauf distraction.  




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