Inscription / Connexion Nouveau Sujet
SUITE AIDE!
bonjour,
Voilà unpb avec une suite
un+1= 1.8*Un*(1-Un)
uo=0.3
Comment étudier le sens de variation en utilisant la récurrence?
J'ai un pb car précédemment avec: un+1=1.un*(1-un) et uo=0.4, on devait montrer par recurrence que pr tt entier naturel n, 0<= Un <= 1
voilà ce que j'ai fait: (lhérédité de ma récurrence)
0<=Un<=1
0<=1-Un<=1
0<=Un(1-Un)<=Un
0<=Un(1-Un)<=1
0<=Un+1<=1
Mais est ce bon?
Dans mon exercice, ces suites représentent l'évolution des populations de coccinelles. On doit étudier graphiquement une autre suite, et d'apres le graphique que lon fait on se rend compte qu'elle ne converge pas (car les traits ne se rapprochent de rien "ms restent sur eux memes"...) et ils demandent de formuler une conjecture sur l'évolution de la population. que dire à part que cela ne converge pas...??
voilà, merci pr votre aide.
Bonjour,
la récurrence est juste.
Pour la "convergence", s'il y a convergence, c'est nécessairement
vers les solutions l de :
l= 1.8*l*(1-l) soit : l(1,8-1,8 l -1)=0=l(0,8-1,8 l) donc vers 0 ou
0,8/1,8 
0,444... .
PL
f(x) = 1,8x.(1-x)
f(x) = 1,8x - 1,8x²
f '(x) = 1,8 - 3,6x
f '(x) < 0 pour x dans [0 ; 0,5[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 0,5
f '(x) > 0 pour x dans ]0,5 ; 1] -> f(x) décroissante.
Il y a un max de f(x) pour x = 0,5, ce max vaut f(0,5) = 0,45
f(0) = 0 et f(1) = 0
Donc si x est dans [0 ; 1], on a f(x) dans [0 ; 0,45]
----
Avec x = Un et un dans [0 ; 1], on a donc f(Un) = 1.8*Un*(1-Un) dans [0
; 0,45]
-> u(n+1) dans [0 ; 0,45]
Donc si U(n) est dans [0 ; 1], on a U(n+1) dans [0 ; 0,45] et donc a fortiori
U(n+1) dans [0 ; 1]. (1)
Comme U(n)=0,3 pour n = 0, Un pour n = 0 est dans [0 ;1 ], et par (1),
on a aussi U(1) dans [0 ; 1]
Comme U(1) est dans [0 ;1 ], on a par (1) que U(2) est dans [0 ; 1].
Comme U(2) est dans [0 ;1 ], on a par (1) que U(3) est dans [0 ; 1].
Et ainsi de proche en proche, U(n) est dans [0;1] pour tout n de N.
->
La suite Un est donc bornée.
-----
Supposons que Un converge, si c'est le cas, pour n -> oo, on a U(n+1)
= U(n)
En appelant L la lim(n->oo) U(n), on aurait:
L = 1,8.L(1-L)
L = 1,8L - 1,8L²
1,8L² - 0,8L = 0
1,8L = 0,8
L = 0,8/1,8 = 8/18 = 4/9
Donc si Un converge c'est vers 4/9
------
Si 0 < U(n) < 4/9
-4/9 < -U(n) < 0
1 - (4/9) < 1-U(n) < 1
Un.(5/9) < Un*(1-U(n)) < U(n)
1,8* Un.(5/9) < U(n+1) < 1,8*U(n)
U(n) < U(n+1) < 1,8*U(n)
1 < U(n+1) / U(n) < 1,8
et donc si 0 < U(n) < 4/9, la suite Un est croissante.
On a montré d'autre part que si U(k) est dans [0 ; 1]; U(k+1) est
dans [0 ; 0,45] et par là, tout U(n) pour n > k est dans [0 ; 0,45].
Comme U(0) est déjà dans [0 ; 0,45], U(n) pour tout n de N est dans [0
; 0,45]
Si 4/9 < U(n) <= 0,45
- 0,45 <= -U(n) < -4/9
0,55 <= 1-U(n) < 5/9
0,55.U(n) <= U(n).(1-U(n)) < (5/9)U(n)
1,8*0,55.U(n) <= 1,8*U(n).(1-U(n)) < 1,8*(5/9)U(n)
0,99.U(n) <= U(n+1) < 1.U(n)
0,99 <= U(n+1)/U(n) < 1
et donc si 4/9 < U(n) < 0,45, la suite Un est décroissante.
-----
Donc la suite est bornée par [0 ; 0,45]
si 0 < U(n) < 4/9, la suite Un est croissante -> elle converge vers
L = 4/9.
si 4/9 < U(n) < 0,45, la suite Un est décroissante -> elle converge
vers L = 4/9.
------
Pour moi, la suite Un converge vers 4/9
Annuler
connectez vous