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Suite avec dénombrement

Posté par
godestalbin 11-11-23 à 17:57

Bonjour,

On définit la suite \left(U_{n} \right) n\epsilon \N \; \;par\;\; U_{n} = \begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix}

Montrer que la suite Un est croissante.

Le nombre de combinaisons de n éléments d'un ensemble avec 2n éléments est:

U_{n}=\begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix} = \frac{2n!}{n!(2n-n)!}= \frac{2n!}{n! \times n!} = [tex]U_{n+1}-U_{n}= \frac{2}{(n+1)!} - \frac{2}{n!}

Pour montrer que la suite est croissante calculons Un+1 - Un

\frac{2}{(n+1)!} - \frac{2}{n!} = \frac{2n! - 2(n+1)!}{(n+1)! \times n!} = \frac{2n! -2(n+1)\times n!}{(n+1)! \times n!} = \frac{n! - 2(n+1)}{(n+1)!} >0

Est-ce que je peux considérer comme évident que n! - 2(n+1) > 0 ?
Intuitivement n! croit beaucoup plus vite que 2(n+1)

On peut donc en déduire que la suite Un est croissante.

Est-ce correct ?

Posté par
malou Webmasterre : Suite avec dénombrement 11-11-23 à 18:22

Bonjour

revois ta réduction au même dénominateur
car (n+1)! est un multiple de n!
ça va simplifier le problème...

Posté par
malou Webmasterre : Suite avec dénombrement 11-11-23 à 18:25

c'est utile de savoir faire ça
mais ensuite je te donnerai un autre moyen encore plus rapide

Posté par
carpediemre : Suite avec dénombrement 11-11-23 à 18:58

salut

je dirai même plus :

malou @ 11-11-2023 à 18:22

car (n+1)! est un multiple évident de n!
par définition de n!
et si tu ne vois pas ça alors aucun prof ne considèrera que
godestalbin @ 11-11-2023 à 17:57

Est-ce que je peux considérer comme évident que n! - 2(n+1) > 0 ?

Intuitivement n! croit beaucoup plus vite que 2(n+1)
même si une intuition est bonne, une intuition n'est jamais une preuve

et il y a trop de fautes de calcul dans la ligne :
godestalbin @ 11-11-2023 à 17:57


U_{n}={ 2n\choose n } = \dfrac{2n!}{n!(2n-n)!} = \dfrac{2n!}{n! \times n!}   il manque des parenthèses

U_{n+1}-U_{n}= \frac{2}{(n+1)!} - \frac{2}{n!}
je ne comprends même pas comment tu passes de la première ligne à la deuxième ligne ...ha si puisqu'il manque des parenthèses !!

Posté par
malou Webmasterre : Suite avec dénombrement 11-11-23 à 19:58

malou @ 11-11-2023 à 18:25

c'est utile de savoir faire ça
mais ensuite je te donnerai un autre moyen encore plus rapide


Programme collège...comparer 2 fractions de même numérateur

Posté par
godestalbinre : Suite avec dénombrement 12-11-23 à 09:16

U_{n}=\begin{pmatrix}2n\\ n\end{pmatrix}=\frac{(2n)!}{n!\times (2n-n)!}=\frac{(2n)!}{n!\times n!}

U_{n+1}=\frac{(2(n+1))!}{(n+1)!\times (n+1)!}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}

U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}-\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(2n+2)!n!n!-(2n)!(n+1)!(n+1)!}{(n+1)!(n+1)!n!n!}

(n+1)! = (n+1) x n!, d'où:
U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n+2)!n!n!-(2n)!(n+1)n!(n+1)n!}{(n+1)!(n+1)!n!n!}

On divise par n! x n! en haut et en bas:
U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n+2)!-(2n)!(n+1)(n+1)}{(n+1)!(n+1)}

Est-ce que jusque là je suis bon ?
Que faire pour la suite ?
Intuitivement, j'ai l'impression que le dénominateur est négatif, j'ai encore une erreur de calcul ?

Posté par
carpediemre : Suite avec dénombrement 12-11-23 à 09:58

ok tu as vu que (n + 1)! = (n + 1) * n!

donc quel dénominateur commun le plus simple choisit-on immédiatement ?

c'est presque bon : il manque un point d'exclamation au dénominateur final

pour (t'aider à) simplifier encore : quels sont les les deux entiers précédent 2n + 2 ?

Posté par
godestalbinre : Suite avec dénombrement 12-11-23 à 10:31

Je reprend en rajoutant le ! manquant sur le dénominateur:
U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n+2)!-(2n)!(n+1)(n+1)}{(n+1)!(n+1)!}

On peut simplifier (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!
d'où:
U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!-(2n)!(n+1)(n+1)}{(n+1)!(n+1)!}

soit:
U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n)!((2n+2)(2n+1)-(n+1)(n+1))}{(n+1)!(n+1)!}

U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n)!(4n^{2}+2n+4n+2-n^{2}-2n-1)}{(n+1)!(n+1)!}


U_{n+1}-U_{n}=\frac{(2n)!(3n^{2}+4n+1)}{(n+1)!(n+1)!}

On peut donc en déduire que Un+1-Un > 0 car tous les termes de la fraction sont positifs et donc que la suite est croissante.

Posté par
malou Webmasterre : Suite avec dénombrement 12-11-23 à 11:09

carpediem @ 12-11-2023 à 09:58

ok tu as vu que (n + 1)! = (n + 1) * n!

donc quel dénominateur commun le plus simple choisit-on immédiatement ?


ça serait peut-être bien de s'en servir !

Posté par
carpediemre : Suite avec dénombrement 12-11-23 à 12:16

malou : il s'en est servi ...

mais dans la factorisation du numérateur il a oublié que 2n + 2 = 2(n + 1) et donc sa factorisation n'est pas optimale

Posté par
malou Webmasterre : Suite avec dénombrement 12-11-23 à 20:10

carpediem, exact...mon défaut avait été de lui avoir fait confiance pour son calcul initial de la différence des deux termes consécutifs...donc mon message de hier 19h58 n'avait pas lieu d'être non plus...


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