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suite avec des factoriel

Posté par victoria21 (invité) 12-01-05 à 18:11

salut a tous, j'aurai aimer ke l'on m'explike j'ai un petit exo, ke j'ai du mal a comprendre, car j'ai beaucoup de mal avec les suites :

voilà j'ai la suite Un = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...+ 1/n!
Je dois calculer U1 U2 ET U3, ce la j'ai réussi, puis je dois démontrer ke cette suite est croissante et ca aussi c bon, mais je dois ensuite montrer par récurrence ke 1/n! 1/2[exposant](n-1)

Pourriez vous m'aider s'il vou plait a comprendre la démarche a faire, je suis vraiment perdue, merci

Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:20

Bonjour


n ! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1

il y n-1 facteurs qui sont tous supérieurs ou égaux à 2 (tous sauf 1).

donc n!\ge2^{n-1}

et en passant aux inverses.



Maintenat, j'uilises des petits points. Si on voulait le faire très proprement, on écrirait une récurrence.




Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:23

justement j'aurai bien voulu savoir,comment procédé par récurrence, car je ne comprends pas très bien comment trouver la solution par récurrence, j'aurai voulu voir la démarche, et pour kelle raison cette démarche a été faite, pk fallait faire comme il fallait faire en gros lol

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:27

et je ne comprends pas comment tu tires que n!2exposant n-1

Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:33

Pour comprendre

5 > 2
4 > 2
3 > 2
2 >= 2

en multipliant membre à membre (tous les nombres sont positifs), on obtient:

5! >= 24



Recuurence
Tu vérifies la propriété pour n = 1
1! = 1
2(1-1)=1

L'hérédité sera
n! >= 2n-1  implique   (n+1)! >= 2n

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:38

Mais ma suite est une suite de quotien

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:41

je sais ke ca revient au meme, mais je vois pas comment le démontrer dans la récurrence puiske je dois montrer dans celle ci ke si l'on suppose : 1/n! 1/2 (n-1), 1/ (n+1)! 1/2n

Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:41

Effectivement, j'ai oublié l'énoncé en route: j'ai tout FAUX

Désolé

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:44

et encore un truc, dans ta démarche , tu ecris :
ke 5! = 2puissance4
Mais 5! = 5 X 4 3 X 2 X 1 donc si on fé la somme pk ca donne pas 2puissance4 + 1

Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:44

Euh ...

La question est-elle bien démontrer que:    \frac{1}{n!}\ge\frac{1}{2^{n-1}}

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:45

oui

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:45

enfin non pardon, c le signe contraire (plus petit ou égale ) <=

Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:50

La question est:
démontrer que   \frac{1}{n!}\le\frac{1}{2^{n-1}}

C'est ce que j'avais fait.

cette question ne parle pas de la suite. Ce résultat sera utilisé ultérieurement (je pense) dans ton problème (il y a d'autres questions ?).

je ne me suis pas trop trompé: je te rédige la question

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 18:52

merci, et la kestion ki suit c d'en déduire ke la suite est majorée par 3, et auparavant la kestion ki précédè, j'ai démontrer k'elle était croissante

Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 19:01

Pour n = 1
\frac{1}{1!}=1

\frac{1}{2^{1-1}}=\frac{1}{1}=1



Hérédité
Supposons que pour n > 0,  \frac{1}{n!}\le\frac{1}{2^{n-1}}

Montrons que cela implique que: \frac{1}{(n+1)!}\le\frac{1}{2^{n}}


\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)\times n!}=\frac{1}{n+1}\times\frac{1}{n!}

or \frac{1}{n!}\le\frac{1}{2^{n-1}}
et \frac{1}{n+1}\le\frac{1}{2}

comme tous les membres sont positifs, en multipliant membre à membre,
\frac{1}{(n+1)!}\le\frac{1}{2^{n}}






Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 19:05

Pour la question suivante, tu majore ta suite par la somme d'une suite géométrique de raison 1/2

Pour n > 0

un <= 1 + 1/20 + 1/21 + ... + 1/2n-1

je te laisse conclure

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 19:07

mais je ne l'ai pas démontrer ke c't une suite géométrike

Posté par
siOkre : suite avec des factoriel 12-01-05 à 19:18

C'est pas un qui est géométrique mais  1/2n

\frac{1}{2^n}={(\frac{1}{2})}^n

Posté par victoria21 (invité)re : suite avec des factoriel 12-01-05 à 19:22

merci beaucoup pour ton aide


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