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Suite avec Un au dénominateur

Posté par
Gaiusfr 29-12-17 à 01:55

Bonjour, voici l'excercice dans le quel je suis complètement bloqué :
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n par :
U_{0} = 2
U_{n+1} = 5 - \frac{4}{U_{n}}
De plus, pour tout entier naturel n : 1 < U_{n} < 4


Question : Montrer que Un = 4 - \frac{6}{4^{n}+2}

La suite semble arithmético-géométrique mais comme Un est au dénominateur, je ne vois pas par où commencer. Pouvez vous m'aider svp ?

Posté par
Synarre : Suite avec Un au dénominateur 29-12-17 à 03:48

Bonjour,
"La suite semble arithmético-géométrique" Oui enfin Un+1=1/Un n'est pas du tout une suite géométrique, ça ressemble, mais pas de trop près.
Quand vous devez montrer une propriété pour n, en particulier quand vous connaissez tout explicitement (ici une démonstration du terme général dont vous avez l'expression explicite), et en particulier si vous n'avez pas une idée plus évidente, une idée doit vous pop dans la tête : récurrence !

Je vous laisse essayer, normalement ça se fait très bien, mais n'hésitez pas si vous bloquez de nouveau. ^^

Posté par
Gaiusfrre : Suite avec Un au dénominateur 29-12-17 à 14:57

Bonjour Synar et merci pour ton conseil.
Mais je suis bloqué dans la démonstration ; je tombe dans un cul de sac en transformant l'expression

Voici ma réponse :
On va montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a  P(n) : Un = 4 - \frac{6}{4^{n}+2}
Initialisation
P(0) : U_{0} = 4 - \frac{6}{4^{0}+2} = 2
Comme U_{0} = 2 , la propriété P(0) est vraie et est initialisée
Hérédité
- Hypothèse de récurrence : On suppose que P(n) est vraie, soit  P(n) : Un = 4 - \frac{6}{4^{n}+2}
- On doit alors démontrer que P(n+1) est vraie, soit P(n+1) : U_{n+1} = 4 - \frac{6}{4^{n+1}+2} :

U_{n+1} = 5 - \frac{4}{U_{n}}  =  5 - \frac{4}{4 - \frac{6}{4^{n}+2}}}

\large 5 - \frac{4}{\frac{16^{n}+2}{4^{n}+2}} = 5 - \frac{4*(4^n+2)}{16^n+2} = 5 - \frac{16^n+8}{16^n+2} = \frac{80^n-16^n+8}{16^n+2}

--> Bloqué

Posté par
heklare : Suite avec Un au dénominateur 29-12-17 à 15:02

Bonjour

revoir les puissances

4\times 4^n=4^{n+1}\not=16^n

Posté par
Gaiusfrre : Suite avec Un au dénominateur 29-12-17 à 15:52

Bonjour hekla, merci j'avais complètement zappé la règle  --'

D'abord on s'occupe de tout ce qu'il y a  droite du 5
\large 4-\frac{6}{4^n+2} = \frac{4^{n+1}+2}{4^n+2}

\large \frac{4}{\frac{4^{n+1}+2}{4^n+2}} = \frac{4^{n+1}+8}{4^{n+1}+2}

Ensuite, on finit le calcul
\large 5 - \frac{(4^{n+1}+8)}{4^{n+1}+2} = \frac{5*4^{n+1}+10-4^{n+1}-8}{4^{n+1}+2} = \frac{4*4^{n+1}+2}{4^{n+1}+2} = \frac{4^{n+2}+2}{4^{n+1}+2}

Arrivé là, peut-on directement identifier avec \large 4-\frac{6}{4^{n+1}+2} = \frac{4^{n+2}+2}{4^{n+1}+2} ?

Posté par
heklare : Suite avec Un au dénominateur 29-12-17 à 16:57

en écrivant 2=8-6

\dfrac{4\times 4^{n+1}+2}{4^{n+1}+2}=\dfrac{4\times( 4^{n+1}+2)-6}{4^{n+1}+2}=4-\dfrac{6}{4^{n+1}+2}

Posté par
Gaiusfrre : Suite avec Un au dénominateur 29-12-17 à 17:18

Ah oui super, merci beaucoup pour ton aide !


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