On pose V_n = U_n - 3

On suppose que V_n > 0             (1)

Donc V_n + 3 > 3 ,donc 1 / (V_n + 3) < 1/3 ,donc 9 /( V_n +3 ) < 9/3

Donc 0 < 9/(V_n +3) < 3

Donc 0 + V_n + 3 < V_n + 3 +9/(V_n +3) < 3+V_n+3

Donc (1/2)(3+V_n) < (1/2)(V_n +3+9/(V_n +3)) < (1/2)(6+V_n)

Donc 0 < (1/2)(3+V_n) < V_(n+1) < (1/2)(6+V_n)

Donc 0 < V_(n+1)

Or d'après la supposition  (1) on aurait V_(n+1) > 0

C'est-ce qu'on a .

Donc on a bien V_n > 0

C'est à dire U_n - 3 > 0

Donc 3 < U_n

Fini

On a  donc 3 < U_n < U_0  (car U_n est décroissante , par f(x)=(1/2)(x+9/x))

Donc 3 < U_n < 4 , donc U_ne abien une limite , donc on a bien pour n-->+oo U_n = (1/2)(U_n+9/(U_n)) , d'où lim_(n-->+oo) de U_n = 3

Voilà

Merci bien
Je n'aurais pas pensé à passer par une autre suite...

f(x)=1/2(x+9/x)=(x²+9)/(2x)

f'(x)=(4x²-2x²-18)/(4x²)=(2x²-18)/(4x²)

f'(3)=0

pour des raisons assez évidentes (1 ligne de raisonnement) f admet un minimum en x=3
f(3)=3

Puisque U(n+1)=f(U(n)) et que U(0)=4>3 on a le résultat.
sauf erreur de calcul.

"On a  donc 3 < U_n < U_0  (car U_n est décroissante , par f(x)=(1/2)(x+9/x))"
Un est décroissante jusqu'à n=3...
La limite en +oo de Un n'est pas égale à 3

La suite est minorée par 3 mais elle n'est pas convergente vers 3...

Oui, si (Un) est convergente alors sa limite est bien 3

si si elle est bien convergente et lim_(n-->+oo) de U_n = 3
Rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
Elle est toujours décroissante  eh oui c'est vrai en plus.

Je suis perdu là. Si j'étudie la fonction f(x) citée par otto, on voit bien que l'on a un minimum en x=3 et que sa limite en +oo est +oo.
La suite est donc minorée par 3, mais elle décroît sur [0;3] et croît sur [3;+oo[. Je ne vois donc pas comment on peut dire que cette suite converge vers 3. Ou que sa limite est 3.
Où est mon erreur?

Je suis perdu là. A l'aide

f(x) citée par Yalcin

?

Tu fais la confusion:
U(n+1)=f(u(n)) et U(n)=f(n)

Si c'était la 2e possibilité alors tu aurais raison mais ce n'est as le cas.

Par exemple
si f(x)=4x tu as
V(n+1)=f(V(n)) et v(0)=1
U(n)=f(n)

Est ce que U(n)=V(n)?

Certainement pas!
Dans le premier cas c'est une suite géoémtrique, dans le second c'est la suite n->4n

Je vois où est ma confusion, mais je ne comprends pas grâce à quoi on dit que Un est décroissante. Qu'est ce qu'on utilise?
La fonction f(x) citée plus haut n'est pas strictement croissante, donc Un n'est pas monotone (=f(Un) mais f n'est pas strictement croissante).
A l'aide je suis complètement perdu là.

Non c'est vrai, mais elle est strictement croissante sur [3,+oo[ donc ca suffit.
Sinon tu as juste à le faire à la main et voir ce qui se passe en regardant U(n+1)-U(n)

C'est ce que j'ai fait.
Et j'arrive à Un+1 - Un= (-U(n)²+9)/2Un
Je ne vois pas quoi en faire à part dire.
Et si ma fonction f(x) est strictement croissante sur [3;+oo[, je peux dire que ma suite est monotone pour n3, mais dans la mesure où je n'arrive pas ensuite à trouver le sens de variation de ma suite, je ne vois pas comment on fait pour trouver que Un converge vers 3.
Peux tu me montrer comment tu trouves qu' Un converge vers 3?
Désolé d'insister, mais j'ai l'impression d'être un peu malcomprenant.

Si tu veux voir ce qui se passe, il suffit d'essayer:

puisque 3<f(x) (large) et U0=4 on a
3<4=U0
donc f(3)<f(U0) car f est croissante sur [3,+oo[
mais f(3)=3 donc 3<f(f(U0))=f(U1)=U2 etc.

Ensuite
U1=f(4)=(4+9/4)/2=25/8=3.125 < 4

Donc 3<U1<U0
On compose par f qui est croissante et on obtient
3<f(U1)<f(U0)
et donc
3<U2<U1<U0
Et ainsi de suite

3<U(n+1)<U(n)

"Peux tu me montrer comment tu trouves qu' Un converge vers 3?"

Tu as posé la question dans un autre sujet et j'y ai répondu.

U(n+1)=f(Un)
Si (Un) converge vers L, alors que dire sur L?

Hum si j'arrive à démontrer que ma suite est décroissante et minorée, je peux dire que ma suite est convergente, et que L= f(L)
Je vois bien que j'arrive à L=3 en utilisant cette égalité.

Mais quand est ce que j'ai prouvé que ma suite décroît?

Je l'ai fait 3posts au dessus

oups désolé je n'avais pas vu ce post

Ok merci c'est plus clair.

c'est-ce que j'avais montré