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Suité bornée

Posté par yamiaso (invité) 18-09-05 à 11:03

Salut !
Un = \sqrt{n^2+1} - n
Je dois montrer que la suite est bornée et trouver sa borne sup, sa borne inf, le plus grand élément et le plus petit élement.
J'ai essayé de simplifier Un. J'arrive à Un = x \times (\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1) . Mais ça me permet toujours pas de répondre aux questions...
Un petit peu d'aide svp
Merci !

Posté par
cqfd67re : Suité bornée 18-09-05 à 11:17

bonjour,

on va utiliser la forme conjuguee
Un=V(n²+1)-n=[V(n²+1)-n)*V(n²+1)+n]/(V(n²+1)+n]
  =(n²+1-n²)/(V(n²+1)+n)
  =1/(V(n²+1)+n)

la suite Un est decroissante et a pour limite 0 donc Un€[0,1]

Posté par yamiaso (invité)re : Suité bornée 18-09-05 à 14:07

Comment je montre que la suite est décroissante ?
Le calcul de la dérivée est un peu compliqué.
Un-1 - Un aussi

Est ce que je peux dire :

n^2+1 est croissante
\sqrt{n^2+1} est croissante
\sqrt{n^2+1}-n est croissante
donc \frac{1}{\sqrt{n^2+1}-n} est décroissante ?

Merci


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