tu peyux ecrire : u(n+1)=f(un())
avec f(x)=rac(x+2)

etuide cette fonction.
Fauis un dessin.
Trace aussi la droite y=x

etudie le compprtement de u(n) sur le dessin.

tu verras vite quelle valeur semble majorer la suite.

Ensuite verifie-le (par recurrence par exemple)

u(n+1)=f(u(n)) pardon

J'avoue que je suis totalement perdue, surtout avec la recurrence

uo=1
donc
u1=rac(2+1)=rac(3)= env 1.7
u2=rac(u1+1)=1.6 env..
etc...

il semblerait (ce que le dessin te prouve) que u soit majorée par 2

Pour la récurrence:
Soit P(n) la propriété : 0<=U(n)<=2
P(0) est vraie car u1=1 don c0<=u0<=2

On suppose que P(n) est vraie, on va démontrer que ca implique P(n+1). C'ets çà le principe de la récurrence.
0<=u(n)<=2
on ajoute 1:
1<=u(n)+1<=3
on prend la racine
1<=rac(u(n)+1)<=rac(3)
on reconnait la défintion  de u(n+1)
1<=u(n+1)<=rac(3) (or rac(3)=1.6 env <=2)
donc on a bien P(n+1) vraie
donc finalemnt c'est vraie pour tout n!
donc 0<=u(n)<=2
la suite u est positive et majorée par 2.

pour t'aider à comprendre:
on a u(n+1)=f(u(n)) avec f(x)=rac(x+2)

or si u admet une limite on aura donc:
l=rac(l+2)
ce qui te donne l²=l+2
l²-l-2=0
(l-2)(l+1)=0
l=-1 ou l=2
comme la suite est positive, la seule limite possible est l=2

NB: je me suis trompé dans mon post présécent:
il faut lire :
u1=rac(1+1)=rac(2)=1.41...
u2=..

tu vois que u est croissnate et semble se rapprocher qu'un elimite, qu'on voit etre 2.

A++

merci, beaucoup,je vais essayé de refaire la démonstration toute seule,grâce à ton aide
Merci encore

Oui j'ai refais larécurrence mais j'ai ajouté 2 et pas 1 car u_n+1 = (u_n+ 2)

oui pardon, je me mélange les pinceaux

c'est pas grave, j'ai rectifié ce qui me prouve que je fais attention et que je veux comprendre, Merci

Voilà une idée du dessin (fait sur un coin de table), c'est du grand classique..
On utilise la courbe de f(x)
et la courbe y=x pour ramener à chaque "pas" les u(n) sur l'axe des absisses.

On voit bien comment la suite évolue en partant de u0.

NB: attention: son comportement pourrait être différent si elle partait d'un autre point que u0=1.

Merci encore, super les explications, encore merci